Solution: 2023-21 A limit

Find the following limit:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sum_{k=1}^{n+2} k^k}{\sum_{k=1}^{n+1} k^k} – \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^k}{\sum_{k=1}^{n} k^k} \right)$

The best solution was submitted by 문강연 (KAIST 수리과학과 22학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +2), 서성욱 (대전동산고 2학년, +2).

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Solution: 2023-20 A sequence with small tail

Can we find a sequence $$a_i, i=0,1,2,…$$ with the following property: for each given integer $$n\geq 0$$, we have $\lim_{L\to +\infty}\sum_{i=0}^L 2^{ni} |a_i|\leq 23^{(n+11)^{10}} \quad \text{ and }\quad \lim_{L\to +\infty}\sum_{i=0}^L 2^{ni} a_i = (-1)^n ?$

The best solution was submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +4). Congratulations!

Another solution was submitted by 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +2).

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Solution: 2023-19 Counting the number of solutions

Let $$N$$ be the number of ordered tuples of positive integers $$(a_1, a_2, \dots, a_{27})$$ such that $$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{27}} = 1$$. Compute the remainder of $$N$$ when $$N$$ is divided by $$33$$.

The best solution was submitted by 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Dzhamalov Omurbek (KAIST 전산학부 22학번, +3), Kharchenka Yuliya (KAIST 물리학과 22학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), Aiden Stock (+3).

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Solution: 2023-18 Degrees of a graph

Find all integers $$n \geq 8$$ such that there exists a simple graph with $$n$$ vertices whose degrees are as follows:

(i) $$(n-4)$$ vertices of the graph are with degrees $$4, 5, 6, \dots, n-2, n-1$$, respectively.

(ii) The other $$4$$ vertices are with degrees $$n-2, n-2, n-1, n-1$$, respectively.

The best solution was submitted by 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 나경민 (KAIST 전산학부 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 전해구 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Dzhamalov Omurbek (KAIST 전산학부 22학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3).

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Solution: 2023-17 Comparing area of triangles

Let $$f(x) = x^4 + (2-a)x^3 – (2a+1)x^2 + (a-2)x + 2a$$ for some $$a \geq 2$$. Draw two tangent lines of its graph at the point $$(-1,0)$$ and $$(1,0)$$ and let $$P$$ be the intersection point. Denote by $$T$$ the area of the triangle whose vertices are $$(-1,0), (1,0)$$ and $$P$$. Let $$A$$ be the area of domain enclosed by the interval $$[-1,1]$$ and the graph of the function on this interval. Show that $$T \leq 3A/2.$$

The best solution was submitted by 서성욱(동산고 2학년, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 여인영 (KAIST 물리학과 20학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3).

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Solution: 2023-16 Zeros in a sequence

Define the sequence $$x_n$$ by $$x_1 = 0$$ and
$x_n = x_{\lfloor n/2 \rfloor} + (-1)^{n(n+1)/2}$
for $$n \geq 2$$. Find the number of $$n \leq 2023$$ such that $$x_n = 0$$.

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 서성욱 (동산고 2학년, +3), 여인영 (KAIST 물리학과 20학번, +3),이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 전해규 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 최백규 (KAIST 생명과학과 박사과정 20학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), 강지민 (세마고 3학년, +2), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +2), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +2), Eun Chan (+2).

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Solution: 2023-15 An inequality for complex polynomials

Let $$p(z), q(z)$$ and $$r(z)$$ be polynomials with complex coefficients in the complex plane. Suppose that $$|p(z)| + |q(z)| \leq |r(z)|$$ for every $$z$$. Show that there exist two complex numbers $$a,b$$ such that $$|a|^2 +|b|^2 =1$$ and $$a p(z) + bq(z) =0$$ for every $$z$$.

The best solution was submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 신민서 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 여인영 (KAIST 물리학과 20학번, +3),이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3).

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Solution: 2023-14 Dividing polynomials

Let $$f(t)=(t^{pq}-1)(t-1)$$ and $$g(t)=(t^{p}-1)(t^q-1)$$ where $$p$$ and $$q$$ are relatively prime positive integers. Prove that $$\frac{f(t)}{g(t)}$$ can be written as a polynomial where it has just $$1$$ or $$-1$$ as coefficients. (For example, when $$p=2$$ and $$q=3$$, we have that $$\frac{f(t)}{g(t)} = t^2-t+1$$.)

The best solution was submitted by 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 전해구 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +4), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +3). Muhammadfiruz Hasanov (+3).

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Solution: 2023-13 Range of a function on subintervals

Prove or disprove the existence of a function $$f:[0, 1] \to [0, 1]$$ with the following property:

for any interval $$(a, b) \subset [0, 1]$$ with $$a<b$$, $$f((a, b)) = [0, 1]$$.

The best solution was submitted by 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +4). Congratulations!

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 박준성 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 22학번, +3), 오동언 (서울대학교 의과대학 19하번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), Eun U (+3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +2), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +2). There were incorrect solutions.

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Let $$p$$ be a prime number at least three and let $$k$$ be a positive integer smaller than $$p$$. Given $$a_1,\dots, a_k\in \mathbb{F}_p$$ and distinct elements $$b_1,\dots, b_k\in \mathbb{F}_p$$, prove that there exists a permutation $$\sigma$$ of $$[k]$$ such that the values of $$a_i + b_{\sigma(i)}$$ are distinct modulo $$p$$.