Let $P(z) = z^3 + c_1 z^2 + c_2 z+ c_3$ be a complex polynomial in $\mathbb{C}$. Its complex derivative is given by $P’(z) = 3z^{2} +2c_1z+c_{2}.$ Assume that there exist two points a, b in the open unit disc of complex plane such that P(a) = P(b) =0. Show that  there is a point w belonging to the line segment joining a and b such that  ${\rm Re} (P’(w)) = 0$.

The best solution was submitted by 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-03.

Other solutions were submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 24학번, +3), 신정연 (KAIST 수리과학과 21학번, +3), 정영훈 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 23학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +3), 김지원 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +2), 박기윤 (KAIST 수리과학과 23학번, +2), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2), There were incorrect solutions submitted.

A permutation $\phi \colon \{ 1,2, \ldots, n \} \to \{ 1,2, \ldots, n \}$ is called a well-mixed if $\phi (\{1,2, \ldots, k \}) \neq \{1,2, \ldots, k \}$ for each $k<n$. What is the number of well-mixed permutations of $\{ 1,2, \ldots, 15 \}$?

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-02.

Other solutions were submitted by 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김지원 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 24학번, +4), 박기윤 (KAIST 수리과학과 23학번, +3), 신정연 (KAIST 수리과학과 21학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2), 정영훈 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 23학번, +3). 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Sadik Adnan (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +2). There were incorrect solutions submitted.

Suppose that we roll $n$ (6-sided, fair) dice. Let $S_n$ be the sum of their faces. Find all positive integers $k$ such that the probability that $k$ divides $S_n$ is $1/k$ for all $n \geq 1$.

The best solution was submitted by 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-01.

Other solutions were submitted by 김지원 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 나승균 (KAIST 23학번, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 24학번, +4), 신정연 (KAIST 수리과학과 21학번, +3), 신주홍 (KAIST, +3), 심세훈 (KAIST 수리과학과 16학번, +3), 오하빈 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2), 정영훈 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 황제민 (KAIST 20학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +2), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +2), 박기윤 (KAIST 수리과학과 23학번, +2). There were incorrect solutions submitted. Late solutions are not graded.

Consider a function $f: \{1,2,\dots, n\}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying the following for all $1\leq a,b,c \leq n-2$ with $a+b+c\leq n$.

$$f(a+b)+f(a+c)+f(b+c) – f(a)-f(b)-f(c)-f(a+b+c) \geq 0 \text{ and } f(1)=f(n)=0.$$

Prove or disprove this: all such functions $f$ always have only nonnegative values on its domain.

Acknowledgement: This problem arises during a research discussion between June Huh, Jaehoon Kim and Matt Larson.

The best solution was submitted by 신민서 (KAIST 수리과학과 20학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-23.

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 전해구 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3).

Does there exist a nontrivial subgroup $G$ of $GL(10, \mathbb{C})$ such that each element in $G$ is diagonalizable but the set of all the elements of $G$ is not simultaneously diagonalizable?

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-22.

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2).

Find the following limit:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sum_{k=1}^{n+2} k^k}{\sum_{k=1}^{n+1} k^k} – \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^k}{\sum_{k=1}^{n} k^k} \right)$$

The best solution was submitted by 문강연 (KAIST 수리과학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-21.

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +2), 서성욱 (대전동산고 2학년, +2).

Can we find a sequence $a_i, i=0,1,2,…$ with the following property: for each given integer $n\geq 0$, we have $$\lim_{L\to +\infty}\sum_{i=0}^L 2^{ni} |a_i|\leq 23^{(n+11)^{10}} \quad \text{ and }\quad \lim_{L\to +\infty}\sum_{i=0}^L 2^{ni} a_i = (-1)^n ?$$

The best solution was submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-20.

Another solution was submitted by 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +2).

Let $N$ be the number of ordered tuples of positive integers $(a_1, a_2, \dots, a_{27})$ such that $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{27}} = 1$. Compute the remainder of $N$ when $N$ is divided by $33$.

The best solution was submitted by 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-19.

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Dzhamalov Omurbek (KAIST 전산학부 22학번, +3), Kharchenka Yuliya (KAIST 물리학과 22학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), Aiden Stock (+3).

Find all integers $n \geq 8$ such that there exists a simple graph with $n$ vertices whose degrees are as follows:

(i) $(n-4)$ vertices of the graph are with degrees $4, 5, 6, \dots, n-2, n-1$, respectively.

(ii) The other $4$ vertices are with degrees $n-2, n-2, n-1, n-1$, respectively.

The best solution was submitted by 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-18.

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 나경민 (KAIST 전산학부 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 전해구 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Dzhamalov Omurbek (KAIST 전산학부 22학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3).

Let $f(x) = x^4 + (2-a)x^3 – (2a+1)x^2 + (a-2)x + 2a$ for some $a \geq 2$. Draw two tangent lines of its graph at the point $(-1,0)$ and $(1,0)$ and let $P$ be the intersection point. Denote by $T$ the area of the triangle whose vertices are $(-1,0), (1,0)$ and $P$. Let $A$ be the area of domain enclosed by the interval $[-1,1]$ and the graph of the function on this interval. Show that $T \leq 3A/2.$

The best solution was submitted by 서성욱(동산고 2학년, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-17.

Other solutions were submitted by 강지민 (세마고 3학년, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 여인영 (KAIST 물리학과 20학번, +3), 이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3).