Let \(A= [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq 5}\) be a \(5\times 5\) positive definite (real) matrix. Show that the matrix \([a_{ij}/(i+j)]\) is also positive definite.

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-16.

Other solutions were submitted by 김준홍 (KAIST 수리과학과 석박통합과정, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정, +3), 서성욱 (대전 동산고 3학년, +3), 신민규 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 양준혁 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 최정담 (KAIST 디지털인문사회과학부 석사과정, +3).

Let \(u_n(t)\), \(n=1,2…\) be a sequence of concave functions on \(\mathbb{R}\). Let \(g(t)\) be a differentiable function on \(\mathbb{R}\). Assume \(\liminf_{n\to\infty} u_n(t) \geq g(t)\) for every \(t\) and \(\lim_{n\to \infty} u_n(0) = g(0)\). Suppose \(u_n'(0)\) exist for \(n=1,2,…\). Compare \(\lim_{n\to \infty} u_n'(0)\) and \(g'(0)\).

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-13.

Other solutions were submitted by 김준홍 (KAIST 수리과학과 석박통합과정, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정, +3), 양준혁 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 정영훈 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +2).

A permutation \(\phi \colon \{ 1,2, \ldots, n \} \to \{ 1,2, \ldots, n \}\) is called a well-mixed if \(\phi (\{1,2, \ldots, k \}) \neq \{1,2, \ldots, k \}\) for each \(k<n\). What is the number of well-mixed permutations of \(\{ 1,2, \ldots, 15 \}\)?

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2024-02.

Other solutions were submitted by 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김지원 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 노희윤 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 24학번, +4), 박기윤 (KAIST 수리과학과 23학번, +3), 신정연 (KAIST 수리과학과 21학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2), 정영훈 (KAIST 새내기과정학부 24학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 23학번, +3). 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), Sadik Adnan (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +2). There were incorrect solutions submitted.

Does there exist a nontrivial subgroup \(G\) of \( GL(10, \mathbb{C}) \) such that each element in \(G\) is diagonalizable but the set of all the elements of \(G\) is not simultaneously diagonalizable?

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-22.

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 채지석 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 21학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +2).

Define the sequence \( x_n \) by \( x_1 = 0 \) and
\[
x_n = x_{\lfloor n/2 \rfloor} + (-1)^{n(n+1)/2}
\]
for \( n \geq 2\). Find the number of \( n \leq 2023 \) such that \( x_n = 0 \).

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-16.

Other solutions were submitted by 김기수 (KAIST 수리과학과 18학번, +3), 김민서 (KAIST 수리과학과 19학번, +3), 김준홍 (KAIST 수리과학과 20학번, +3), 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +3), 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 서성욱 (동산고 2학년, +3), 여인영 (KAIST 물리학과 20학번, +3),이도현 (KAIST 수리과학과 석박통합과정 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학부 20학번, +3), 전해규 (KAIST 기계공학과 졸업생, +3), 조현준 (KAIST 수리과학과 22학번, +3), 최백규 (KAIST 생명과학과 박사과정 20학번, +3), Adnan Sadik (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), Muhammadfiruz Hasanov (+3), 강지민 (세마고 3학년, +2), 지은성 (KAIST 수리과학과 20학번, +2), 최민규 (한양대학교 의과대학 졸업생, +2), Eun Chan (+2).

Find a pair of nonisomorphic nonabelian groups so that their abelianizations are isomorphic and their commutator subgroups are perfect.

The best solution was submitted by 김찬우 (연세대학교 수학과 22학번, +4). Congratulations!

Here is the best solution of problem 2023-08.

Other solutions were submitted by 박기윤 (KAIST 새내기과정학부 23학번, +3), 이명규 (KAIST 전산학과 20학번, +3), Anar Rzayev (KAIST 전산학부 19학번, +2).