Solution: 2012-10 Platonic solids

Determine all Platonic solids that can be drawn with the property that all of its vertices are rational points.

The best solution was submitted by Myeongjae Lee (이명재), 2012학번. Congratulations!

Here is his Solution of Problem 2012-10.

Alternative solutions were submitted by 박민재 (2011학번, +3, Solution), 정우석 (서강대학교 2011학번, +3), 박훈민 (대전과학고 2학년, +2). One incorrect solution was submitted (G.S.).

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1 thought on “Solution: 2012-10 Platonic solids

  1. 박민재

    개인적인 사정으로 (훈련ㅠㅠ) proof는 생략했지만 그다지 어렵지 않습니다. 정수 격자 말고 그냥 유리수 점에 대해서 바로 적용해도 되는건데, 일단 정사면체의 한 점을 원점으로 옮깁니다. 그 다음 한 변의 길이를 L, 두 꼭지점의 벡터를 p=(x,y,z), q=(u,v,w)라고 하면 넓이를 고려할 때 √3/4 L^2 = |p×q|/2가 됩니다. 한편 나머지 한 꼭지점의 좌표는 (p+q)/3 + p×q/|p×q| √(2/3) L인데, p×q는 유리수 벡터이므로 L∈Q√2임을 알 수 있습니다. 굳이 여기에 적당한 dialation (각 유리수 좌표들의 분모들의 최소공배수를 인자로 하는)을 통해 정수 격자로 옮긴 이유는, 더 나아가서 몇 가지 조건들을 통해 Diophantine equation을 세워서 풀면 정확한 좌표까지도 구할 수 있지 않을까 해서였습니다… 만 시간이 없었던 고로ㅠㅠ

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