Let \( p_n \) be the \(n\)-th prime number, \( p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \dots \). Prove that the following series converges:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_n} \prod_{k=1}^n \frac{p_k -1}{p_k}.
\]

The best solution was submitted by 김기현 (수리과학과 대학원생). Congratulations!

Here is his solution of problem 2019-05.

Other solutions were submitted by 강한필 (전산학부 2016학번), 고성훈 (2018학번, +3), 길현준 (2018학번, +3), 김기수 (수리과학과 2018학번), 김기현 (수리과학과 대학원생), 김태균 (수리과학과 2016학번), 박항 (전산학부 2013학번), 신원석 (서울대학교 컴퓨터공학부), 이본우 (수리과학과 2017학번, +3), 이정환 (수리과학과 2015학번, +3), 조재형 (수리과학과 2016학번, +3), 채지석 (수리과학과 2016학번), 최백규 (생명과학과 2016학번, +3), 김민서 (2019학번, +2), 윤창기 (서울대학교 화학과).

Let \(A\) be an unbounded subset of the set \(\mathbb R\) of the real numbers. Let \(T\) be the set of all real numbers \(t\) such that \(\{tx-\lfloor tx\rfloor : x\in A\}\) is dense in \([0,1]\). Is \(T\) dense in \(\mathbb R\)?

The best solution was submitted by Kim, Kihyun (김기현, 수리과학과 2012학번). Congratulations!

Here is his solution of problem 2015-6.

Alternative solutions were submitted by 엄태현 (수리과학과 2012학번, +3), 이명재 (수리과학과 2012학번, +3), 이수철 (수리과학과 2012학번, +3), 이종원 (수리과학과 2014학번, +3), 정성진 (수리과학과 2013학번, +3), 최인혁 (2015학번, +3), 진우영 (수리과학과 2012학번, +3), 배형진 (마포고 1학년, +2). One incorrect solution was submitted (KDR).