Let f be a differentiable function. Prove that if \(\lim_{x\to\infty} (f(x)+f'(x))=1\), then \(\lim_{x\to\infty} f(x)=1\).
The best solution was submitted by Chiheon Kim (김치헌), 수리과학과 2006학번. Congratulations!
Here is his Solution of Problem 2010-18.
Alternative solutions were submitted by 정성구 (수리과학과 2007학번, +3), 서기원 (수리과학과 2009학번, +3), 심규석 (수리과학과 2007학번, +3), 진우영 (KSA-한국과학영재학교, +3), 박민재 (KSA-한국과학영재학교, +2), 한대진 (?, +2), 문정원 (성균관대학교 수학교육과, +2).
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g'(x)가 integrable하지 않을 수도 있지않나요?
저도 궁금하던건데 integrable인건가요?
음.. g가 differentiable일테니까요.
g가 differentiable하지만 g’이 integrable이 아닌 반례가 closed domain에서는 존재하는데 (g’의 discontinuity가 무수히 많을 수도 있고), unbounded domain인 경우 어떤 M이 존재해서 [M,∞)에서는 g’이 integrable하다고 할 수 있는지 궁금합니다. 조금 더 자세한 설명 부탁드려요.
그 부분은 확실히 오류였군요. 방금 풀이를 다시 보면서 고칠 방법을 깨달았네요 =_= g'(x) > e^x/2 for x>M이므로 g는 [M, inf)에서 increasing. 그러므로 g(x)-g(M) >= int_M^x g'(x) dx, 즉 풀이에서 등호를 부등호로 바꾸면 성립합니다.
그리고 저기서 적분은 르벡센스인데, 그렇지 않더라도 f’ > g > 0이고 g가 integrable이면 int_a^b g(x) dx <= f(b) – f(a) 임은 아마 쉽게 증명할 수 있을거에요. Riemann sum을 적절히 이용하면?
오래된 문제지만… 풀이자분께서 MVT 써서 g(x)=g'(c)(x-M)+g(M)→∞ as x→∞로 고치셨어요!