Solution: 2010-18 Limit of a differentiable function

Let f be a differentiable function. Prove that if \(\lim_{x\to\infty} (f(x)+f'(x))=1\), then \(\lim_{x\to\infty} f(x)=1\).

The best solution was submitted by Chiheon Kim (김치헌), 수리과학과 2006학번. Congratulations!

Here is his Solution of Problem 2010-18.

Alternative solutions were submitted by 정성구 (수리과학과 2007학번, +3), 서기원 (수리과학과 2009학번, +3), 심규석 (수리과학과 2007학번, +3), 진우영 (KSA-한국과학영재학교, +3), 박민재 (KSA-한국과학영재학교, +2), 한대진 (?, +2), 문정원 (성균관대학교 수학교육과, +2).

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7 thoughts on “Solution: 2010-18 Limit of a differentiable function

  1. Minjae Park

    g가 differentiable하지만 g’이 integrable이 아닌 반례가 closed domain에서는 존재하는데 (g’의 discontinuity가 무수히 많을 수도 있고), unbounded domain인 경우 어떤 M이 존재해서 [M,∞)에서는 g’이 integrable하다고 할 수 있는지 궁금합니다. 조금 더 자세한 설명 부탁드려요.

  2. Chiheon Kim

    그 부분은 확실히 오류였군요. 방금 풀이를 다시 보면서 고칠 방법을 깨달았네요 =_= g'(x) > e^x/2 for x>M이므로 g는 [M, inf)에서 increasing. 그러므로 g(x)-g(M) >= int_M^x g'(x) dx, 즉 풀이에서 등호를 부등호로 바꾸면 성립합니다.

  3. Chiheon Kim

    그리고 저기서 적분은 르벡센스인데, 그렇지 않더라도 f’ > g > 0이고 g가 integrable이면 int_a^b g(x) dx <= f(b) – f(a) 임은 아마 쉽게 증명할 수 있을거에요. Riemann sum을 적절히 이용하면?

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