2013-15 Bounded random variable

Let \( x, y \) be real numbers satisfying \( y \geq x^2 + 1 \). Prove that there exists a bounded random variable \( Z \) such that
\[
E[Z] = 0, E[Z^2] = 1, E[Z^3] = x, E[Z^4] = y.
\]
Here, \( E \) denotes the expectation.

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2 thoughts on “2013-15 Bounded random variable”

  1. 진우영

    bounded random variable이 정확히 어떤 뜻인가요..?
    P(-M<Z<M)=1 for some M 이라는 뜻인지 probability density function의 range가 bounded라는 뜻인지 헷갈려요..

  2. Ji Oon Lee Post author

    어떤 M에 대하여 항상 \( |Z| \leq M \)입니다. Probability density function의 range가 bounded라고 해도 괜찮은데, 이 경우는 density가 잘 정의되지 않는 random variable에 대해서는 다소 애매한 바가 있습니다.

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