Let \(m\) and \(n\) be odd integers. Determine \[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\tan\frac{k\pi}{m}\tan \frac{k\pi}{n}.\]
The best solution was submitted by Suh, Gee Won (서기원), 수리과학과 2009학번. Congratulations!
Here is his Solution of Problem 2012-17.
One incorrect solution was received (PHM).
GD Star Rating
loading...
loading...
풀이가 여느때보다 일찍 올라왔네요ㅠㅠ 제 풀이입니다. Fourier series로도 분명 풀릴텐데, 계산하는 법을 까먹었어요=_= residue 계산할 때도 한참 생각했네요. 대충 gcd(m,n)^2 = int_{0}^{1} (-1)^([m/t]+[1-n/t])???dt 뭐 이런 식을 이용하면 될 것 같아요.
real analysis만으로 최종적인 결과를 유도해낼 수 있는 방법이 있을까 궁금하네요. trilogarithm을 사용해서 문제의 infinite sum을 finite sum 형태로 고쳐보기는 했지만, 제 지식으로는 최종적인 closed form으로 고치는데 한계가 있는 듯 하네요 ㅜㅜ
아… 크기가 1/lcm[m,n]인 구간으로 나누어서 계산해주면 gcd(m,n)^2=mn int_{0}^{1} (-1)^([mt]+[ny])dt네요. 이 사실을 이용해서 contour integration을 안 쓰고 Fourier series 이용하는 풀이: f(t) = (-1)^[m|t|/pi]에 대한 Fourier coefficient는 짝수 k!=0에 대해 f^(k)=2/(kpi) tan(kpi/2m), 홀수 k에 대해 0, f^(0)=1/m. 마찬가지로 g(t)= (-1)^[n|t|/pi]를 생각하면 Parseval’s theorem에 의해 1/pi int_{0}^{pi} f(t)g(t)dt = sum_{k=-inf}^{inf} f^(k)g^(k). 앞에서 언급한 사실을 사용하면 좌변은 gcd(m,n)^2/mn이고 우변은 1/mn + 2/pi^2 * {구하려는 합}. 시간이 없어서 검토를 못해봤는데 맞나 모르겠네요ㅠㅠ @Scott