Solution: 2011-23 Constant Function

Let \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{n-1}\) be a function such that for each point a in \(\mathbb{R}^n\), the limit $$\lim_{x\to a} \frac{|f(x)-f(a)|}{|x-a|}$$ exists. Prove that f is a constant function.

The best solution was submitted by Minjae Park (박민재), 2011학번. Congratulations!

Here is his Solution of Problem 2011-23.

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2 thoughts on “Solution: 2011-23 Constant Function”

  1. 지나가는사람

    랜덤한 고급정리를 엘레멘타리한 문제에 이용하는걸 별로 안좋아해서리.. 끄적여봅니다

    1. 저 리미트 값을 g(a)라고 해서 Rn의 함수로 보면, 존재하는걸 아니까 일단 continuous해야함 (입델같은걸로 보일수있다)

    2. g(a)=0 for all a임을 보일것이다.

    3. 어떤 a가 있어서 g(a)>0이라고 하자. 그러면 a 주변의 어떤 neighborhood U가 있고 어떤 M>b>0가 있어서 x,y가 U에 있으면 M>|f(x)-f(y)|/|x-y|>b이다. (이유는 h(x,y):R^2n->R+을 |f(x)-f(y)|/|x-y|라고 잡으면 결국 h가 continuous한걸 알고 h(x,x)=g(x)인것이므로, h가 a,a에서 양의 값을 가지고 continuous하므로 h의 어떤 neighborhood에서 b>0보다 큰 값을 가지게 b와 neighborhood를 잡을 수 있고, 그 neighborhood안에서 예를들어서 2n차원 open cube를 잡으면 결국 h(x,y)가 (a,a)를 중심으로 하는 2n차원 open cube에서 b보다 크단 얘기는 g(x)가 a를 중심으로 하는 n차원 open cube에서 b보다 크단 소리. upper bound를 주는거도 완전히 똑같은 argument다)

    4. 이제 a를 중심으로 하는 n차원 정 simplex를 잡자. 즉 a에서 d만큼 떨어진 n+1개의 점 p0,..,pn을 |pi-pj|가 다 똑같게 잡을 수 있다. n에 의존하는 상수 c_n이 존재해서 |pi-pj|=c_n * d일 것이다. 또 d가 일정 수준 이하로 작으면 M*c_n*d>|f(p_i)-f(p_j)|>b * c_n * d일 것이다.

    5. 근데 f(p_0),…,f(p_n)은 n+1개의 점인데 n-1차원안에 있다. n-1차원에서 서로 같은 거리를 유지할 수 있는 최대 점 갯수는 n개이다. 따라서 n에 의존하는 어떤 상수 e_n>1이 존재해서 n+1개의 점사이의 거리가 d이상이면 그 n+1개의 점중 가장 멀리 떨어진 두 점사이의 거리가 적어도 e_n*d 이상이어야 한다. (왜 존재하냐면, 이 n+1개의 점으로 이뤄진 set의 diameter를 함수로 생각해서 j:R^(n-1)*(n+1)->R_+라고 부르면, j는 연속함수고, homogeneous하다. (j(0)=0, j(rv)=rj(v) for all real r) 마찬가지로 n+1개의 점들의 모든 쌍의 거리들의 최소값을 함수로 생각해서 i:R^(n-1)*(n+1)->R_+라고 부르면 i도 연속함수고 homogeneous이다. 또한 차원때문에 v가 0이 아닌 이상 i(v)1이므로 m>1이다. 또한 j(v)/i(v)=j(rv)/i(rv) for all real r, 따라서 j(v)>m i(v) for all nonzero v. 이 m이 그 e_n이다)

    6. 3의 증명을 곱씹어보면 M과 b를 M>g(a)>b>0을 만족하는 아무 양수나 잡을 수 있다는 걸 깨달을 것이다. 이제 M/b를 m보다 작게 잡으면 모순이다.

    7. 이제 g(a)=0 for all a를 보였다. 왜 f가 constant인가? f(0)=0이라고 가정해도 무방하다. 이제 f(v)ne0 for some nonzero v라고 가정하자. 임의의 양수 e>0를 잡자. 이제 모든 양수 0<= t<=1를 tv주변 r(t)만큼의 ball에서 |f(x)-f(tv)|/|x-tv|<e가 되도록잡을 수 있다. in particular 삼각부등식에 의해 |f((t+r(t))v)-f((t-r(t))v)|/(2r(t))0임에 모순. 증명끝

  2. 지나가는사람

    위의 코멘트가 왠진모르게 중간에 잘리네요. 위에서 j(v)/i(v)가 0제외한 공간에서 continuous하므로 0중심 반지름 2인 구에서 1인 구를 뺀 closed 구각을 생각하면 compact하니까 minimum있고 그 minimum이 1보다 크며 j(v)/i(v)가 스칼라배해도 똑같으니까 모든 nonzero v에 대해 j(v)가 m *i(v)보다 큰 m>1인 상수 m이 있단소리였습니다.

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