[수업내용]

오늘은 10개의 벡터공간 공리(axiom)를 만족하는 공집합이 아닌 집합을 벡터공간(vector space)로 정의하고 다양한 벡터공간의 보기들을 살펴보았습니다. R^n에서 정의한 개념들을 그대로 일반적인 벡터공간에서도 다루며 특히 기저의 개수로 벡터공간의 차원을 정의하였습니다. n차 이하의 다항식들의 집합 Pn은 다항식의 합과 실수배가 정의된 벡터공간이며 차원은 n+1이 됩니다.

벡터공간에서 4개의 내적공리(inner product axiom)을 만족하는 실수값을 갖는 함수를 내적으로 정의하고 다양한 내적의 보기들을 살펴보았습니다. 내적이 정의된 벡터공간을 내적공간(inner product space)라고 부르는데 여기서는 삼각부등식, 코시-슈바르츠 부등식, 거리부등식, 직교기저, best approximation problem등을 생각할 수 있습니다.

두 벡터공간 사이에 정의된 함수가 덧셈과 상수배 구조를 보존하면 선형변환(linear transformation)이라고 하고 다양한 선형변환을 살펴보았습니다. 선형변환의 kernel과 range는 각각 정의역과 공역의 부분공간이 되며 1-1과 ker={O}인 것은 동치입니다.

마지막으로 P{n-1}과 R^n 사이에 정의된 동형사상(isomorphism, 1-1 and onto and linear)은 P{n-1}과 R^n 덧셈과 상수배 구조를 보존하기 때문에 적당한 동형사상을 통하면 P{n-1}의 문제를 R^n의 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다. 특히 n차원 벡터공간은 항상 R^n과 동형이 되는 사실은 중요합니다. 보기19와 20을 통해 동형사상의 예와 응용을 살펴보았습니다.

이것으로 2006년 봄학기 선형대수학개론 수업을 모두 마치겠습니다. 그동안 고생 많았구요 금요일날 실시되는 기말고사에 좋은 결과가 있기를 바랍니다.

전춘배 드림.