[강의내용] 7.3, 7.4(p353)

●m*n행렬 A의 fundamental space는 row(A), null(A), col(A), null(A^T)입니다.
●rank(A)=dim(row(A))이고 nullity(A)=dim(null(A))입니다. 사실, rank(A)=dim(col(A))이기도 합니다.
●S가 R^n의 부분집합일 때, S^{⊥}를 S의 모든 벡터와 수직인 벡터들의 집합이라고 하고 S의 수직여공간(orthogonal complement)라고 합니다. 수직여공간은 항상 부분공간입니다.(Thm7.3.3)
●A가 m*n행렬일 때, Ax=O의 해공간은 null(A)이고 이것은 A의 행들의 집합의 수직여공간이 됩니다.
●W가 부분공간일 때, W∩W^{⊥}={O}이고 집합 S에 대해 S^{⊥}=(span(S))^{⊥}이며 (W^{⊥})^{⊥}=W입니다.
●A의 fundamental space중 row(A)와 null(A)가 서로 수직, col(A)와 null(A^T)이 서로 수직입니다.
●행변형은 행공간(row space)를 보존하므로 null space도 보존합니다. 따라서 A~U일 때, U의 영벡터가 아닌 행들이 A의 basis가 됩니다. 그러나 행변형은 열공간을 바꿀 수 있습니다. (그러나 열공간의 차원은 바꾸지 않습니다. 나중에 다루겠습니다.)
●S={v1,...,vn}이고 A=[v1 v2 ... vn](열분할)일때, b가 span(S)의 원소이다 <==> b가 col(A)의 원소이다 <==> b가 T_A의 range의 원소이다 <==> Ax=b가 해를 갖는다.
●(행렬의 차원정리) A가 m*n일 때, n=rank(A)+nullity(A)
●A~U 일때, rank(A)는 U의 pivot의 개수, nullity(A)는 U의 free variable의 개수입니다.
●S={v1,...,vr}이 R^n의 일차독립인 집합이면 vi들을 행으로 갖는 행렬 A의 rank=r이고 따라서 null(A)의 기저는 n-r개를 얻을 수 있습니다. 이들을 합치면 R^n의 기저를 얻을 수 있습니다.


[주의사항]

●S가 R^n의 부분집합일 때는 (S^{⊥})^{⊥}=S가 일반적으로 성립하지 않습니다.
●행변형은 행렬의 행공간을 보존하지면 열공간은 바꿀 수 있습니다.

[읽기과제]

●Ex6(p347)의 Solution2
●EX3(p353)

[TF 문제 정답]

●7.3 D1 FTTFT D2 TFFFT

수고하셨습니다.