[강의내용] 7.11

●R^n의 부분공간 W의 순서기저(ordered basis) B={v1,...,vk}가 있을 때 W의 벡터 w를 vi들의 일차결합으로 쓰는 방법이 유일합니다.
●따라서 w=a1v1+...+akvk 인 ai들이 유일하게 결정되는데 (a1,...,ak)를 w의 B에 관한 좌표(coordinate vector)라고 하고 [w]_B 로 표시합니다.
●일반적으로 [w]_B 를 구하려면 [v1 | ... | vk : w ]를 풀어야 합니다.
●[ ]_B : R^n --> R^n, x --> [x]_B 인 좌표함수(coordinate mapping)을 생각할 수 있는데, 선형이고 1-1이며 B가 정규직교기저이면 orthogonal transformation이 됩니다.
●R^n의 두 기저 B={v1,...,vn}, B'={v1',...,vn'} 이 있을 때

  [x]_B' =  P_{B'<-B} [x]_B

을 만족하는 행렬 P_{B'<-B}=[[v1]_B'...[vn]_B'] 이 존재하는데 이것을 transition matrix 또는 change of coordinates matrix라고 합니다.
●P_{B3<-B2} P_{B2<-B1}  =P_{B3<-B1}
●(P_{B2<-B1})^{-1}=P_{B1<-B2}  
●P_{B'<-B} 는 [v1'...vn':v1...vn]~[I: ***] 에서 *** 이 됩니다.
●B,B'이 정규직교기저이면 P_{B'<-B}은 orthogonal matrix(각 열이 orthonormal)가 됩니다.
●임의의 n*n 행렬 A에 대해 A의 열을 기저 B로 생각하면 A=P_{S<-B} 이 됩니다. S는 표준기저
●특히, A가 직교행렬이고 판별식이 1이면 A=P_{S<-B} 가 회전이으로 좌표변환을 회전변환으로 이해할 수 있습니다.

[주의사항]

●좌표를 생각할 때에는 기저의 순서를 고려해야 합니다.
●기저를 정규직교기저로 선택하지 않으면 새로운 좌표벡터의 길이와 내적은 일반적으로 보존이 안됩니다.
●책에서는 P_{B2<-B1}을 P_{B1->B2}로 표시하고 있습니다.
●[B2:B1]~[I:P_{B2<-B1}] 이 되는데 B2,B1의 순서에 주의해 주세요.
●coordinate map은 linear이고 1-1임을 꼭 확인해 주세요.

[읽기과제]

●없습니다.

[TF 문제 정답]

●없습니다.

수고하셨습니다.