[강의내용] 7.6-7.7(p383)

A는 m*n행렬이고 U는 A의 행사다리꼴, R은 A의 줄여진(reduced) 행사다리꼴입니다.

●A~U~R 에서 row space와 null space는 불변입니다. 그러나 row들의 일차독립성은 바뀔 수 있습니다.
●A~U~R 에서 col space는 다를 수 있지만 각각의 column들의 일차독립성은 바뀌지 않습니다.
●A~U 에서 pivot을 포함하는 U의 행이 row(A)의 기저이고 A의 pivot column들이 col(A)의 기저가 됩니다.
●[null(A^T)의 기저구하기]
[A:I]~[U:E]에서 U의 영인 행과 같은 행에 있는 E의 행들이 null(A^T)의 기저가 됩니다.
●[CR-factorization]
rank(A)=k 이면 A=CR로 쓸 수 있는데 C는 pivot column들이고 R은 U의 영이 아닌 행들이 됩니다.
따라서 A=c1r1+c2r2+...+ckrk 로 쓸 수 있고 ciri들은 rank=1인 행렬입니다.
●R^n의 한 벡터 a에 대해 x=x1+x2로 쓸 수 있는데 x1=proj_a x 이고 x2=x-x1으로 x1은 a와 평행, x2는 a와 수직이 됩니다. 이 때,  proj_a x 을 x의 a방향으로의 정사영(orthogonal projection)이라고 합니다.
●R^n의 a방향으로의 orth.proj의 행렬 P는 1/{a^Ta}aa^T 로 rank=1인 대칭행렬입니다.
●따라서 방향을 단위벡터 u로 잡으면 P=uu^T가 됩니다.

[주의사항]

●A~U~R 일때 각 fundamental space들의 일치여부, 행과 열의 일차독립성의 유지 여부를 정확하게 이해해 주세요.
●A~U일 때 U의 pivot에 대응하는 "A"의 열이 col(A)의 기저가 됩니다.

[읽기과제]

●Thm7.6.4의 증명
●Thm7.7.3의 다른 증명
●Ex2,3,5(381-383)

[TF 문제 정답]

●7.6 A=O이 아니라는 가정에서 34332, 32334, 43443, [min(m,n), n-1, min(m,n), min(m,n), m-1]

수고하셨습니다.