[강의내용] 8.3

●C~oA <==> C와 A가 orthogonally similar <==> C={P^T}AP
●A~oA(반사), A~oB ==> B~oA(대칭), A~oB,B~oC ==> A~oC(삼단논법)
●A가 직교대각화가능하다 <==> D={P^T}AP 인 직교행렬 P가 존재 <==> A는 대칭행렬 <==> n개의 고유벡터들로 이루어진 R^n의 정규직교(orthonormal)기저가 존재
●A를 직교대각화하려면,
(1)n개의 고유벡터를 찾아
(2)Gram-Schumidt방법으로 정규직교화하여 이들을 열로 하는 행렬 P를 만들고
(3)D={P^T}AP로 대각화한다.
●대칭행렬 A의 서로 다른 고유값에 대한 교유벡터는 항상 서로 수직합니다.
●대칭행렬 A=r1(u1*u1^T)+...+rn(un*un^T)를 A의 spectral decomposition 또는 eigenvalue decompositon이라고 합니다. 여기서 ui들은 고유값이 ri인 A의 고유벡터로 길이가 1인 벡터입니다.
●ui*ui^T 은 rank1인 ui방향으로의 정사영을 표현하는 행렬입니다.
●Cayley-Hamilton의 정리를 사용하여 A의 거듭제곱의 차수를 줄일 수 있고 A가 가역인 경우 A의 역행렬을 A의 거듭제곱으로 표현할 수 있습니다.
●행렬의 지수표현을 살펴보았습니다. 미적분학을 기초로 하는 내용이므로 기초가 되는 내용을 모르는 학생들은 참고만 해 주세요.
●직교대각화 불능인 경우 조건에 따라 행렬표현을 간단하게 하는 Schur의 정리, Hessenberg의 정리가 있습니다.

[주의사항]

●직교대각화가능은 대칭행렬만의 고유한 성질입니다.
●대각화가능하다고 해서 직교대각화가능하지 않습니다.
●직교행렬 또한 대칭행렬이 아니면 직교대각화가능하지 않습니다.
●대칭행렬의 고유벡터들을 G-S방법으로 정규직교화해도 여전히 고유벡터가 됩니다.
●그러나 대칭행렬이 아니면  G-S방법으로 정규직교화 한 결과는 고유벡터가 안될 수 있습니다.
●대칭행렬의 직교대각화는 그 행렬을 n개의 rank1행렬의 합으로 표현하는 방법을 제시해 줍니다.
●행렬의 거듭제곱을 구하려면 대각화를 생각해 주세요.
●행렬지수(exponential of matrix)는 미적분학 내용이 필요하니 참고해 주세요.

[읽기과제]

●478쪽 대각화가능하지 않는 경우에 성립하는 정리들

[TF 문제 정답]

●D1 TFFTT
●D3 Yes!!