[강의내용] 7.1,7.2

●R^n의 부분공간 V의 기저(basis)란 V를 생성(span)하는 일차독립인 V의 집합을 말합니다.
●R^n의 standard unit vector는 R^n의 기저가 되는데 standard basis라고 합니다.
●[정리7.1.2] R^n의 어떤 부분집합(순서생각)이 일차종속이면 적당한 벡터가 이전 벡터들의 일차결합으로 표현된다.
●따라서 간단한 경우 몇 개의 벡터가 일차독립인지를 각 벡터들이 이전 벡터들의 일차결합이 되는 지 여부로 판단할 수 있습니다.
●A~U인 경우 U가 행사다리꼴이면 U의 영벡터가 아닌 행들은 일차독립입니다.
●[정리7.1.3-4] 영공간이 아닌 R^n의 부분공간은 항상 기저를 갖고 기저의 개수는 구하는 방법에 상관없이 항상 같다.
●따라서 "부분공간의 차원(dimension)=부분공간의 한 기저의 원소의 개수"로 정의합니다.
●동차연립방적식 Ax=O의 해공간은 nul(A)이고 일반해가 x=c1v1+...ckvk로 써진다면 {v1,...,vk}는  일차독립이므로 nul(A)의 기저가 됩니다. 이 기저를 canonical basis라고 합니다.
●R^n의 초평면(hyperplnae)은 영이 아닌 벡터 a에 대해 a^{⊥}이고 차원은 n-1입니다. 따라서 초평면은 R^n의 진부분공간으로서 가장 차원이 큰 공간입니다.
●[정리7.2.1] V의 벡터는 v의 기저들의 일차결합으로 유일하게 표현된다.
●V가 부분공간이고 S⊆V일 때,
(1) S가 V를 생성하지만 기저가 아니면 S의 부분집합 S'이 존재해서 이것이 V의 기저가 된다.
(2) S가 일차독립이지만 V의 기저가 아니면 S를 포함하는 집합 S'이 존재해서 이것이 V의 기저가 된다.
●기저는 일차독립인 집합으로서 가장 크고, 생성집합으로 가장 작다고 할 수 있습니다.
●[정리7.2.6] V의 차원을 알고 있는 경우 일차독립 또는 생성 한가지만 성립하면 기저가 됩니다.
또한 차원보다 많은 수의 벡터들의 집합은 항상 일차종속이고 차원보다 적은 수의 벡터들의 집합은 V를 생성할 수 없습니다.

[주의사항]

●{O}의 기저는 없다고 하고 차원은 0으로 정의합니다.


[읽기과제]

●정리7.1.4의 증명
●333쪽 보기 7
●정리7.2.2, 7.2.4의 증명
●기저의 개념이 추가된 Unifying Thm(Thm7.2.7)

[TF 문제 정답]

●7.1 D1 n,5,0~5,3 D2 숙제문제 D3 F D4 t=-3,-4(각각 1차원)
●7.2 D2 숙제문제 D2 F D3 n!

수고하셨습니다.