[강의내용] 8.2

●n*n행렬 A,C에 대해 C=P^{-1}AP를 만족하는 가역행렬 P가 존재하면 C가 A와 상사(similar)하다고  하고 C~sA로 표현합니다.
●C~sA 이면 A~sC 이고 A~sB, B~sC 이면 A~sC이 됩니다.
●C~sA 이면 A와 C는 동일한 선형사상의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현이 됩니다.
●C~sA 이면 A와 C의 (1)행렬식, (2)rank, (3)nulity, (4)trace, (5)특성방정식이 같습니다.
●따라서 C~sA이면 두 행렬의 고유값이 같게 됩니다.
●C~sA이면 같은 고유값의 A와 C에 대한 대수적중복도와 기하적중복도(geometric multiplicity)는 일치합니다.
●따라서 C~sA이면 같은 고유값의 A와 C에 대한 고유공간의 차원(기하적중복도)는 같습니다.
●그러나 고유공간은 다른 표현을 가질 수 있습니다.
●특히, C~sA(C=P^{-1}AP)일 때, x가 C의 고유값 r에 대한 고유벡터이면 Px가 A의 고유값 r에 대한 고유벡터가 됩니다.
●대각행렬 D에 대해 D=P^{-1}AP를 만족하는 가역행렬 P가 존재하면 A는 대각화 가능하다라고 하고 P가 A를 대각화한다고 합니다.
●n*n행렬 A가 대각화가능이려면 A는 n개의 일차독립인 고유벡터를 가져야 합니다.
●따라서 R^n에서 A의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재하면 A는 대각화 가능합니다.
●특히, P를 고유벡터들을 열로 쓴 행렬이라고 하고 D를 각 열에 대응하는 고유값을 대각성분으로 하는 대각행렬이면 D=P^{-1}AP가 됩니다.
●n*n행렬 A가 대각화가능이려면 각 고유값의 대수적중복도와 기하적 중복도가 같아야 하며 따라서, 기하적중복도의 합이 n이 되어야 합니다.

[주의사항]

●대각화가능과 가역은 다른 개념입니다.
●즉, 대각화가능하지만 가역이 아닌 행렬이 있고 가역이지만 대각화불능인 행렬도 있습니다.(예를 책의 보기에서 찾아보거나 만들어 보기 바랍니다.
●대각화가능한 행렬이 가역이면 D의 대각원소들은 0이 아닙니다. 0이 고유값이 아니기 때문이죠..
●일반적으로 "1<=기하적중복도<=대수적중복도"입니다.
●모든 고유값에 대해 기하적중복도=대수적중복도 이면 대각화 가능합니다.

[읽기과제]

●Ex2,3 기하적 중복도와 대수적 중복도가 같은 경우(대각화가능), 다른경우(대각화불능)
●Thm8.2.4의 증명과 증명 바로 밑의 Do not read more into Thm8.2.4~ 부분
●Thm8.2.9 읽기만 했으니 증명 꼭 읽어주세요.

[TF 문제 정답]

●D2 숙제입니다.
●D3 숙제입니다.

수고하셨습니다.