[강의내용] 8.8,8.9

●n차원 복소공간(complex n-space) C^n을 정의하여 R^n을 확장하였습니다.
●복소벡터 u와 복소수행렬 A의 complex conjugate u~ A~를 정의하였습니다.
●[주의] u*v=u^Tv~=v~^Tu로 복소벡터의 내적을 정의합니다. 단위벡터, 수직성, 길이(norm)도 내적을 이용하여 R^n의 경우와 같이 정의합니다.
●실수행렬 A의 고유값이 r이고 고유벡터가 x이면 r~이 고유값, x~이 대응하는 고유벡터가 됩니다.
●A가 복소고유값과 복소고유벡터를 갖는 경우에는 R^n에서는 대각화 불능이지만 C^n에서는 대각화 가능할 수 있습니다.
●실수행렬 A가 대칭이면 고유값은 항상 실수임을 증명하였습니다.
●다음행렬은 a+-bi를 교유값으로 갖고 기하적으로 a+bi의 편각만큼의 회전과 a+bi의 크기만큼의 확대의 합성변환을 표현하는 행렬입니다.
  C= [a -b]
       [b  a]
●2*2 실수행렬 A가 a+-bi를 고유값으로 갖는 경우 a-bi의 고유벡터를 x라고 하고 P=[Re(x) Im(x)]로 두면 A=PCP^-1로 분해할 수 있습니다.
●따라서 위의 경우 기저를 잘 선택하면 A는 회전과 확대의 합성으로 이해할 수 있습니다.
●complex conjugate A*를 정의하고 성질을 살펴보았습니다.
●A^-1=A*이면 A를 unitary라고 하고 A^T=A*이면 A를 Hermitian이라고 부릅니다.
●unitary 행렬은 orthogonal행렬의 일반화된 개념이고 Hermitain은 symmetric행렬의 일반화된 개념입니다.
●Hermitain은 항상 실수 고유값을 가지고 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터는 항상 수직합니다.
●unitaty 행렬은 길이보존, 내적보존하는 행렬로 각행 또는 각열이 C^n의 정규직교집합입니다.
●A가 unitarily diagonalizable이란 unitaty 행렬 P가 존재하여 D=P*AP 가 대각행렬이 된는 것입니다.
●[주의] Hermitain은 항상 unitarily diagonalizable하지만 역은 성립하지 않습니다.
●skew-symmetric 행렬은 직교대각화불능이지만 unitarily diagonalizable합니다.
●unitarily diagonalizable한 행렬은 A*A=AA*가 성립하는 normal 행렬입니다.

[주의사항]

●u*v=u^Tv~=v~^Tu로 복소벡터의 내적을 정의합니다. 따라서 내적의 교환법칙이 성립하지 않습니다.
●Hermitain은 항상 unitarily diagonalizable하지만 역은 성립하지 않습니다. 역이 성립하지 않는 경우가 바로 skew-symmetric 행렬입니다.

[읽기과제]

●Ex5(531) 복소고유값을 갖는 경우 A^n(x0)의 궤적의 기하적 해석
●539쪽 Normal matrix

[TF 문제 정답]

●없습니다.

수고하셨습니다.