[강의내용] 7.4(354)-7.5

●R^n의 부분공간 W에 대해 dimW+dimW^{⊥}=n 입니다. 증명은 W=span{v1,...,vk}에 대해 vi들을 행으로 갖는 행렬 A를 잡고 W=row(A)로 생각하면 됩니다. W^{⊥}=null(A)입니다.
●n차 정사각행렬 A가 가역이면 rank(A)=n, nullity(A)=0입니다.
●R^n의 n-1차원 부분공간 W는 W=a^{⊥}입니다. 즉 W는 초평면.
●A=uv^T는 rank=1인 행렬이고 역도 성립합니다.
●특히 uu^T는 rank=1인 대칭행렬이 됩니다.
●[Rank Thm] dim(row(A))=dim(col(A)) 즉 row공간과 col공간의 차원이 같습니다. 이것을 A의 rank라고 합니다. 따라서 rank(A)=rank(A^T)
●A의 col(A)의 basis는 A^T의 row space의 기저를 구하면 됩니다.
●Ax=b 가 해를 갖는다 <==> b∈col(A) <==> rank(A)=rank([A:b])
●Ax=O이 자명한 해를 갖는다 <==> A가 full column rank <==> A^TA가 가역
●m*n행렬 A에 대해 Ax=b가 m>n이면 부정(적당한 b에 대해 Ax=b는 해가 없다) m<n이면 불능(임의의 b에 대해 Ax=b가 해가 없거나 무수히 많다).
●A와 A^TA의 domain의 fundamental space들은 일치합니다.

[주의사항]

●A가 m*n이면 rank(A)의 최대값은 min(m,n)이 됩니다.
●A가 full column rank이고 full row rank이면 A는 정사각행렬이 됩니다.
●rank(A)=rank(A^T)이더라도 A는 정사각행렬이 아닐 수 있습니다.

[읽기과제]

●Thm7.4.7 증명
●Ex3(p362) Ax=b가 해를 갖는 조건과 [A:b]의 행사다리꼴의 모양
●Ex5(p364) full rank인 행렬의 성질

[TF 문제 정답]

●7.4 D1 숙제입니다.
●7.5 D4 숙제입니다.

수고하셨습니다.