[강의내용] 6.3,6.4(p310)
● ker(T)={x|T(x)=O}으로 T가 선형변환이면 ker(T)는 정의역의 부분공간이다.
● null(A)={x|Ax=O}으로 T_A 의 kernel이다.
● ran(T)={T(x)|x는 정의역 원소}으로 T가 선형변환이면 ran(T)는 공역의 부분공간이다.
● col(A)=span{a1,...,an}으로 T_A 의 range이다.
● Ax=b가 해를 같는다 <==> b가 col(A)의 원소이다. <==> b가 A의 열들의 일차결합으로 표현된다 <==> b가 T_A의 치역의 원소이다.
● T:R^n-->R^m 에 대해 ran(T)=R^m 이면 onto, T(x)=T(y)-->x=y를 만족하면 1-1이라고 한다.
● 선형변환 T가 1-1인것과 ker(T)={O}인 것은 동치이다.
● m*n 행렬 A와 이 행렬의 변환 T_A에 대해서
T_A :1-1 <==> Ax=O 이 자명한 해를 갖는다 <==> null(A)={O}
T_A :onto <==> 모든 R^m의 벡터 b에 대해 Ax=b가 해를 갖는다 <==> Col(A)=R^m
● T가 선형이고 operator이면 1-1 <==> onto 이다.
● 선형변환의 합성변환의 행렬표현은 [T2oT1]=[T2][T1] 이다.
● 회전이동을 여러번 한 결과는 회전이동이고 대칭이동을 짝수번하면 회전이동이 된다.
[주의사항]
● 선형변환과 행렬의 입장에서, 연립방정식의 입장에서 1-1, onto의 성질을 잘 정리해 주세요.
● 큰 차원에서 작은 차원으로 가는 변환은 1-1이 될 수 없고 작은 차원에서 큰 차원으로 가는 변환은 onto가 될 수 없습니다.
● 따라서 m*n 행렬 A에서 n>m 이면 핼렬변환 T_A는 1-1이 될 수 없으므로 Ax=O이 비자명해를 갖습니다. 변환의 관점에서 보면 자명합니다.
● 선형변환의 합성시 변환의 행렬의 곱셈의 순서에 주의해 주세요.
[읽기과제]
● IMT Theorem (Thm 6.3.15) 행렬과 행렬변환에서 본 가역행렬 정리
● Ex3(p307) 변환의 합성은 교환법칙이 성립하지 않는다.
● Ex4(p308) 세 변환의 합성변환의 행렬표현
● Ex5(p310) 공간에서 여러번 회전변환 한 결과는 회전변환이 되는 예
[TF 문제 정답]
● 6.3 D1 TTTTT
수고하셨습니다.