[강의내용] 8.4

●n차 대칭행렬 A에 대해 (x^T)Ax를 A와 관계된(associated) 이차형식(quadratic form)이라고 합니다.
●이차형식 (x^T)Ax에서 A의 직교대각화 P^TAP=D를 구하고 x=Py로 변수변환하면 (x^T)Ax=(y^T)Dy가 되어 엇갈린곱(cross product)의 항(term)이 없어지게 됩니다. 이 때 P의 열들을 주축(principal axis)라고 부릅니다.
●실수 k에 대해 (x^T)Ax=k는 x가 속한 공간의 차원에 따라 2차곡선(conic) 또는 2차곡면(quadratic surfaces)라고 합니다. 직교대각화를 이용해 변수변환하면 엇갈린곱이 없는 표준위치(standard position)의 2차곡선 또는 곡면의 방정식을 얻을 수 있습니다.
●P가 직교행렬일 때, 직교변수변환 x=Py에서 P의 행렬식이 1이면 회전이동으로 볼 수 있어 엇갈린 곱의 항이 있는 이차곡선이 표준위치로 부터 얼마만큼 회전한 상태인지 알 수 있습니다.
●이차형식을 양의정부호(positive definite), 음의 정부호, 부정부호로 분류하고 이차형식의 행렬의 고유값의 부호를 통해 구분할 수 있습니다.
●특별히 양의 정부호 대칭행렬은 nth principal submatrix의 행렬식이 모두 양수입니다.
●Thm8.4.6에서는 양의 정부호 대칭행렬이 또 다른 양의 정부호 대칭행렬에 대해 B^2으로 표현되고 가역행렬 C에 대해 C^TC로도 표현된다는 내용입니다.
●양의 정부호 대칭행렬 A를 대각성분이 모두 양수인 윗삼각행렬 R에 대해 A=R^TR로 분해하는 Cholesky Factorization의 내용만 살펴보았습니다.

[주의사항]

●엇갈린곱을 없애기 위해 x=Py로 변수변환할 때, P는 반드시 직교행렬(orthonormal column)이어야 합니다.
●P의 행렬식이 -1이면 열교환을 통해 행렬식을 1로 만들어 회전변환으로 이해할 수 있습니다.

[읽기과제]

●Ex1 이차형식의 행렬구하기
●Table 8.4.1 이차곡선의 표준형

[TF 문제 정답]

●D1 FFTTF(semidefinite인 경우도 있을 수 있음)T
●D2 TTTTT(A가 대칭이 아닌 경우도 고려하면 아래 행렬의 이차형식은 원이됨)F(c가 음수인 경우)

A=[1 -1]
   [1  1]

수고하셨습니다.