[강의내용] 8.1

●선형변환 T:R^n-->R^m의 표준행렬(standard matrix)은 [T]=[T(e1)...T(en)]이고 T(x)=[T]x입니다.
●정의역과 공역이 같은 선형변환 T:R^n-->R^n 에서 R^n의 기저를 B={v1,...,vn}으로 선택하면 B에 관한 T의 행렬표현은  [T]_B=[[T(v1)]_B...,[T(vn)]_B]이고 [T(x)]_B=([T]_B)[x]_B 가 성립합니다.
●R^n의 다른 기저 B'={v1',...,vn'}을 선택하면 좌표변환행렬 P_{B'<-B}에 대해 [T]_B'=P([T]_B)P^{-1}가 되고 B,B'이 정규직교기저이면 P는 직교행렬이 되어 P^{-1}=P^T이 됩니다.
●P가 가역인 행렬이면 P의 열을 기저 B로 생각했을 때 P=P_{S<-B}로 볼 수 있으므로 [T]=P([T]_B)P^{-1}가 성립합니다. 여기서 S는 표준기저입니다.
●일반적인 선형변환 T:R^n-->R^m에서 정의역 R^n의 기저를 B={v1,...,vn}로, 공역 R^m의 기저를 B'={v1',...,vn'}으로 잡았을 때 [T]_B^B'=[[T(v1)]_B'...,[T(vn)]_B']은 [T(x)]_B'=([T]_B^B')[x]_B를 만족하게 됩니다.
●[T]_B^B'를 선형변환 T의 기저 B,B'에 관한 행렬(표현)이라고 합니다.
●[T]_B^B'을 빠르게 구하는 방법 : [v1'...vn':T(v1)...T(vn)]~[I:[T]_B^B']
●:R^n-->R^m에서 정의역과 공역의 기저를 B1,B1'으로 잡았을 때의 행렬표현 [T]_B1^B1'과 새로운 기저 B2,B2'으로 잡았을 때의 행렬표현 [T]_B2^B2'은 다음과 같은 관계를 만족합니다.

  [T]_B1^B1'=(P_{B1'<-B2'}){[T]_B2^B2'}(P_{B2<-B1})

●[T]_B는 [T]_B^B를 의미합니다.
●항등변환 Id:R^n-->R^n과 임의의 R^n의 기저 B,B'에 대해 다음이 만족합니다.
  (1) [Id]=I_n (I_n은 n차 항등행렬)
  (2) [Id]_B=I_n
  (3) [id]_B^B' = P_{B'<-B}

[주의사항]

●기저를 잘 선택하여 행렬을 간단히 표현하는 내용이 ch8의 주요내용입니다.
●좌표변환행렬은 선형변환의 행렬표현의 특별한 경우입니다.
●[v1'...vn':T(v1)...T(vn)]~[I:[T]_B^B']을 이용하면 선형변환의 일반적인 행렬표현을 쉽게 구할 수 있습니다.

[읽기과제]

●없습니다.

[TF 문제 정답]

●D4 숙제입니다.