A posteriori error estimation produces qualitative and/or quantitative information on the numerical errors and now plays a fundamental role in adaptive mesh refinement for efficient implementation of numerical methods. Recently, there has been growing interest in the type of a posteriori error estimation which provides a fully computable upper bound on the acutal error. In this talk we will give an overview of some recent results on this issue for primal and mixed finite element methods.

We survey our recent results on rigidity vs flexibility of representations in semisimple Lie groups and group actions on character variety.

지금은 융합과학기술의 시대라고 일컫는다. 하지만 아무도 융합이 무엇을 연구하는 분야인지그 정의를 명확하게 내리지는 못한다. 그 이유는 아마도 융합은 학문이나 기술의 분야가 아니라 그들을 하고자하는 방법론이어서 그럴 것이다. 수학을 바탕으로 자연과학이 나타났고 또 이들을 바탕으로 공학분야가 탄생하였다. 수 많은 학문이나 기술 분야가 각각 많은 발전을 하였고 산업에 이바지하였다. 이제 산업이 고도화되고 사회의 요구성이 매우 다양해져서 이러한 니즈를 맞추기에 단독적인 학문이나 기술로는 턱없이 부족하기에 이르렀다. 학문적으로도 새로운 생각이나 방법이 단독 분야에서 나타나는 것이 아니라 여러 분야의 화학적인 결합으로 태어난다. 따라서 어쩌면 융합이라는 분야는 무엇이 될지 모르는 정의될 수 없는 것이 당연할지 모른다.

현재 비교적 융합이 나타나는 분야는 우리의 가장 큰 관심사인 건강한 삶을 주제로 한 분야이다. 암 치료를 위한 첨단 의료기기로부터 비만 관리에 이르는 ‘라이프사이언스’에 이제까지의 모든 학문적 기술적 지식이 요구된다고 할 수 있다. 본 콜로퀴엄에서는 필자가 수행하였던 ‘라이프사이언스’ 연구 관련 주제를 소개하고 이들의 방향을 토의해보고자 한다. 여기에는 유전자나 단백질 등 유전정보의 기능을 예측하거나 분석하고 관리해주는 바이오인포매틱스, 정보통신 기술을 바탕으로 건강 관리를 해주는 u-헬스케어, 의사에게 객관적인 정보를 주어 진단의 정확도를 높일 수 있는 컴퓨터도움진단, 그리고 양성자치료기와 같은 첨단 의료기기 등의 분야가 포함된다. 덧붙여서 필자가 근무하였던 한국연구재단에서 보아왔던 연구자들의 융합분야도 소개하고자 한다.

수학은 모든 학문과 방법론의 기본이 된다. 수학적 지식과 마음가짐으로 타 분야와의 융합을 통하여 이제까지 볼 수 없었던 새로운 학문의 지평선을 열기를 기대해본다. 본 콜로퀴엄은 이러한 취지에서 융합과학기술의 일부분의 예를 소개하는 것이고 더욱 창의적인 융합의 지평선을 카이스트에서 열어주길 기대한다.

국내외 금융시장에서 거래되고 있는 파생상품은 종류가 매우 다양해지고 구조가 복잡해지고 있는 추세이며, 이에 따라 새로운 수학적 모델과 기법의 도입이 필요하다.

본세미나에서는 파생상품에 대한 기존의 수학적 모델과 가격 결정이론에 대해 설명하고, Fourier 변환을 이용한 Semi-closed form 형태의 파생상품 가격결정이론을 소개한다.

We propose a computational framework to incorporate regularization terms used in regularity based variational methods into least squares based methods. In the regularity based variational approach, the resulted image is obtained as a result of the competition between the fidelity term and a certain regularity term, while in the least squares based approach the image is computed as a minimizer to a constrained least squares problem.

The total variation minimizing denoising scheme is an exemplary scheme of the former approach with the total variation minimizing term as the regularity term, while the moving least square method is an exemplary scheme of the latter approach.

Both approaches have appeared in the literature of image processing independently.

By putting schemes from both approaches into a single framework, the resulted scheme benefits from the advantageous properties of both parties. As an example, in this talk, we propose a new denoising scheme, where the total variation minimizing term is adopted by the moving least squares method. The resulted denoising scheme overcomes the drawbacks of both schemes, i.e., the staircasing artifact in the total variation minimizing based denoising and the local boiling artifact in the moving least square based denoising method.

The proposed computational framework can be utilized to put various combinations of both approaches with different properties together.