궁금해 하는 학생이 많아서 올립니다.

어제 Office Hour시간에 간략하게 증명의 개요를 설명하면서,
다음 사실을 증명하면 쉽게 결과가 나온다는 사실을 보였습니다.

(Fatou's)
f_k -> 0 in mean이고, f_k -> g ptwise일때,
∫ |g|^2 dx  <= lim (k->infinity) ∫ |f_k|^2 dx

위 정리의 증명은 엄밀하게 하려면 약간은 까다롭습니다.
이 정리를 쓰지 않고, 수업시간에 언급한 사실을 사용하여 좀 더 간단하게 증명할 수 있습니다.


(Theorem)
f_n -> f pointwise
f_n, f = integrable,
|f_n(x)| < M for all n in N, x in [a,b]
then f_n -> f in mean

h_n := min(|f_n|, |f|)로 두면, |h_n| <= |f_n|이므로 h_n -> 0 in mean이 됩니다.
|h_n| <= |f| on [a,b] 이고, f는 bounded이므로 h_n은 uniformly bounded이고,
h_n들은 적분가능하고, h_n -> |f| pointwise이므로, 위 정리를 적용하면,

∫ |h_n - |f| |^2 ->  0 입니다.
이를 전개하면  ∫|h_n|^2 - 2 * ∫h_n * |f| + ∫|f|^2 -> 0 이 되고,
첫번째 항은 h_n -> 0 in mean이므로,
두번째 항은 Cauchy-Schwartz에 의해 <= 2 * ∫|h_n|^2 * ∫|f|^2 -> 0 이므로,
결과적으로 ∫|f|^2 -> 0 입니다.

f의 연속성에 의해 f = 0 을 얻을 수 있습니다.