Transport properties of Gibbs and Gaussian measures under different transformations have been studied in probability theory. In this talk, I will discuss the invariance and quasi-invariance of Gaussian type measures on functions/distributions under the flow of Hamiltonian PDEs.

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Around early 2010, there was a huge success in understanding the spectrum of large random matrices, in other words, large random graphs. It was only for large but dense random graphs at first. However, as random matrix theory has been developed, there is some progress in sparse cases. In this short talk, I will review a series of results for spectral statistics of sparse random graphs and explain their implications.

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Randomness of biochemical reactions is inherent in various biological systems, from DNA to organs and the human body. These stochastic dynamics are frequently modeled using a continuous-time Markov chain (CTMC). Its long-term behavior is described by a stationary distribution, corresponding to its deterministic counterpart called a steady state. Stationary distribution can be derived analytically only in limited systems such as linear or finite-state systems. In this talk, I will introduce a recent result by Anderson, Craciun, and Kurtz deriving stationary distribution from the underlying graph structure of a reaction network and how we can extend it. For those who are first told the word 'Mathematical Biology,' I will briefly introduce mathematical biology before going into the detailed topic.

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Modular curves for Hecke congruence groups, or more generally, for Fuchsian groups of the first kind can be seen as the moduli spaces of the isomorphism classes of elliptic curves with torsion data in some sense. In this talk, I will introduce the notion of modular curves and modular forms. If time permits, I will also introduce their applications to some transcendental questions.

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