응용 및 계산수학
응용 및 계산 수학 그룹에서는 과학, 공학, 의학 등 응용 분야들과 관련된 수학적 이론을 연구하고 수치계산 방법을 개발한다. 편미분방정식론, 수치해석학, 함수해석학, 최적화이론, 기계학습, 데이터과학 등 다양한 수학 이론이 연구의 바탕이 되며 ‘Analysis and PDEs’, ‘Mathematical Medicine and Biology’, ‘Mathematics for AI and Big Data’ 등 다른 연구 그룹과도 밀접한 연관이 있다. 응용 연구를 위해 수리과학에서 뿐만 아니라 다른 과학, 공학 분야와의 학제간 연구도 수행하고 있다.
대수학/대수기하학
전통적 의미에서는, 대수학은 덧셈, 곱셈 같은 연산자들이 있는 집합들에 대한 방정식의 해과 구조에 대한 연구를 뜻하고, 대수기하학은 이들이 주는 방정식들의 해들의 기하적 구조를 연구하였다. 20세기 중반 이후 많은 타 분야처럼, 대수학과 대수기하학도 많은 혁명이 있었는데, 그 중 주요한 변화 하나는, 스킴, 스택, 층 등의 새로운 언어의 도입과 가환대수학, 호몰로지 대수학 등의 발전을 바탕으로, 알렉산더 그로센딕에 의해 기초가 새로 쓰여지며 더 튼튼해 지며 연구 가능 대상들의 범주를 크게 폭발적으로 확장하게 된 점이다. 더 넓은 범주의 더 많은 대상을 더 높은 관점에서 더 강력한 방법으로 더 깊게 연구할 수 있게 되며, 현대 대수기하학은 과거에는 구분된 분야라고 인식 되던 표현론, 미분기하학, 복소기하학, 수론 및 산술기하학, 대수적위상수학, 호모토피론, 범주이론, 비-아르키메데스 해석 및 강체 기하학 등 다양한 분야와 더 밀접한 관련을 맺으며 상호 발전적 영향력을 주고 받게 되었다. 이러한 발전을 통해 대수기하학의 언어와 방법론이 타 분야와의 교류에도 표준 소통 수단의 일부로 받아들여져, 의사소통을 위해 이 언어에 대한 직관과 유창함이 중요해졌다. 예를들어 해석학 일반의 언어가, 편미분 방정식, 조화 해석학, 응용수학 등에서 기초적인 언어가 되듯, 대수기하학의 언어가 여러 유관 분야의 기초적 언어 중 일부가 되고 있다. 본 학과에서는 다소 고전적인 대수학/대수기하학의 문제부터 표현론, 산술기하학 등까지 연구하는 다양한 교수진이 있어, 폭 넓은 현대 대수기하학의 언어와 기초를 배울 기회가 있다. 진지한 학생들은 이들 연구의 첨단에 접근하여 연구에 참여할 수 있는 다양한 기회가 있다.
해석학과 편미분방정식
해석학은 함수와 그에 작용하는 작용소를 대상으로 주로 정량적 속성을 연구하는 분야이다. 미적분의 발견이후 자연 현상을 미분과 적분이 들어간 함수방정식, 즉 미분방정식으로 기술하는 물리학이 발전하면서 이에 대응되는 수학적 이론인 해석학이 수학에서 중심적인 타픽으로 자리잡게 되었다. 자연 현상, 혹은 미분방정식을 다루는 타 과학의 분야와 구별되는 뚜렷한 특징은 현상을 수학으로 기술함에 있어서 수학적 엄밀성을 요하는 해석학적 증명을 통하여 정량적, 정성적 속성을 이해하려 한다는 점이다. 이 분야에서 가장 광범위하고 중심적인 타픽은 미분방정식이지만, 이와 관련한 동력학계, 수리물리, 조화 복소해석, 함수해석학이 주류를 이루고 있다. 본 학과에서는 이 중 여러 주요 주제들을 연구하고 있다. 세부 연구 관심 분야로는 변분론, 유체역학, 파동 현상을 기술하는 편미분 방정식을 비롯하여 역문제, 수리모델링, 수리물리 등을 포함하고 있다.
이산수학
이산수학은 그래프, 순열, 분할, 부분순서집합 등 이산적인 구조를 탐구하는 수학의 분야로, 비교적 신생 분야이다. 오늘날의 컴퓨터는 “이산” 단계를 거쳐 동작하고 “이산” 비트에 정보를 저장하기 때문에 이산수학은 이론 컴퓨터 과학과 밀접한 관련이 있으며 이러한 이유로 최근 이산수학 분야가 많은 주목을 받고 있다.
이산수학에서는 이산적인 구조에 대한 다음과 같은 문제를 다룬다: 구조 내에 특정한 패턴의 개수를 세는 문제, 구조 안에서 반드시 나타나는 부분구조에 관한 문제, 기하적인 대상이 서로 만나는 패턴에 관한 문제, 특정 성질을 갖는 구조의 모양에 관한 문제, 특정 문제를 푸는 효율적인 알고리듬을 찾는 문제 등.
이러한 문제를 풀기 위해서 종종 대수학, 위상수학, 표현론, 확률론 등 다른 수학 분야의 방법을 사용한다. 이산수학의 문제를 풀기 위해 여러 수학 분야의 아이디어를 모아 개발된 방법론은 정수론, 위상수학, 기하학, 이론 컴퓨터 과학 등 여러 분야의 문제를 푸는데 사용되고 있다.
금융수학
금융수학의 연구 대상은 크게 보아서, 주식이나 채권 등의 기초자산에 대한 옵션 등을 이르는 파생금융상품의 가격을 산정하는 법을 연구하는 파생금융상품 이론과, 투자 포트폴리오를 효율적으로 운용하는 방법을 연구하는 포트폴리오 이론이라는 두 개의 분야로 나눌 수 있다. 옵션 이론은 블랙과 숄즈, 머튼에 의해 각각 1973년에 논문이 발표된 것이 시작이며, 포트폴리오 이론은 마코비츠의 이론이 시발점이 된다. 두 이론에 대해 각각 노벨경제학상이 수여되었다. 이러한 이론들을 연구하기 위하여 리스크, 헷징, 이자율, no arbitrage principle 등의 금융 개념을 여러 수학적인 도구와 결합하여 이용한다. 필요한 수학 분야는 선형대수, 상미분방정식, 편미분방정식, 르베그 적분론, 확률론, 수치해석학, 통계학, 푸리에 해석학, 복소변수함수론 등이다. 필요한 수학 이론 중에서 핵심적인 이론은 확률론과 르베그 적분론의 결합이라고 할 수 있는 이토 적분론이다. 이것은 브라운 운동의 증분을 사용하여 적분을 하는 것인데 브라운 운동의 증분의 제곱을 시간 증분과 같은 크기로 간주한다는 이토의 정리가 가장 중요한 수학적 사실이다. 금융수학의 많은 문제에서 이론적인 공식의 유도 뿐만 아니라 계산적 계산도 이용하는데 편미분방정식의 수치적 해법과 많은 수의 표본 값을 이용하는 몬테 칼로 적분법이 주된 계산 도구이다. 금융수학을 전공한 사람의 장래 진로는 밝으며, 학계 진출과 은행, 증권회사, 보험회사 등 금융산업계로의 취업이다.
기하학 및 위상수학
기하학과 위상수학은 공간을 그 구조와 형태에 따라 분류하는 모든 문제를 다루기 때문에 사실상 수학의 거의 모든 분야에 영향을 미치고 있다. 오늘날에는 푸앵카레 추측과 기하화 추측에 대한 주목할만한 발전에서 볼 수 있듯이 이 둘은 동떨어진 두 분야라기 보다는 서로 밀접하게 얽혀 있다. 우리 학과 기하 위상 분야의 구성원들의 연구는 저차원 위상수학과 복소기하학에 중점을 두고 있다. 저차원 다양체(5차원 미만)의 연구는 이론 물리학에 큰 중요성을 가지고 그 밖에도 많은 응용 분야를 가지고 있다. 저차원에서는 많은 흥미로운 현상이 발생하는데 예를 들어, 모든 3차원 다양체는 삼각분할이 가능하지만, 3차원 이상의 모든 차원에서 삼각분할이 가능하지 않은 다양체가 존재한다. 또한 유클리드 공간이 이국적이고 매끄러운 구조를 허용하는 유일한 차원은 4차원이라는 놀라운 사실 또한 잘 알려져 있다. 우리 교수진은 기하 구조, 기하 군론, 엽층구조 이론, 매듭 이론, 게이지 이론 및 Heegaard Floer 이론을 포함하여 기하 위상 분야의 많은 중요한 주제에 대해 연구하고 있다. 기하학 측면에서 우리 교수진은 pluripotential 이론과 복소기하학에 중점을 두고 이다. Pluripotential 이론은 복소수 세팅에서 볼록함이라는 개념을 잘 확장한 개념을 제공하고, 이러한 이론은 복소기하학과 대수기하학 등에 최근 많이 응용되고 있다. 또한 Kähler 다양체에서 특이점을 가지는 Kähler-Einstein 메트릭을 건설하는데도 활용된다.
수리생물학 및 의생명수학
20세기가 물리학의 시대라면 21세기는 생물학의 시대이다. 실제로 생물학은 미국에서 가장 많은 박사를 배출하는 분야이고 수학 분야도 6명 중 1명, 통계학 분야는 절반이 생물학 관련 연구로 학위를 받고 있다. 그러나 법칙에 따라 움직이는 물리 현상과는 달리 생물학 현상은 매우 다양하여 일정한 법칙이 없어 보인다. 특히 우리의 몸은 약 100조 개의 다양한 세포로 구성되어 있고 각 세포는 약 100조 개의 다양한 분자들로 구성되어 있는데 개체의 생존을 위하여 항상성을 유지해야 하며 이를 위해 다양한 생명 활동을 한다. 이러한 복잡한 시스템을 직관만으로 이해하는 것은 불가능하며 수리생물학(Mathematical Biology)은 그 생명현상의 기본을 이루는 원리를 찾기 위한 학문이다. 때론 복잡한 시스템의 핵심만 남겨서 단순화하고 이를 디지털 공간에 가상으로 구현하여 복잡한 데이터를 분석하며 가상 실험을 통해 복잡한 생명현상을 이해하는 연구가 진행 중이다. 이를 위해서 생물학 현상에 적절한 수학 이론을 개발하고 응용한다. ODE, PDE, SDE와 같은 다양한 미분 방정식을 이용하며 대수학, 위상수학, 조합론 같은 이론도 사용되고 있다. 수리생물학의 매력 중 하나는 주어진 생명과학 퍼즐을 해결하기 위해서 어떤 특정 분야의 수학이 아니라 다양한 분야의 수학을 사용할 수 있다는 점이다. 또한, 연구한 결과가 질병의 원인 및 확산을 이해하고 치료법 개발로 이어지기도 하므로 수학을 통해 사람들의 건강과 행복에 기여할 수 있다는 점이 수리생물학의 또 다른 매력이다.
인공지능과 빅데이터를 위한 수학
인공지능은 인간의 학습능력과 문제해결 능력을 모방하는 시스템을 연구하는 분야로서 의미있는 정보의 추출이 가능하게 된 빅데이터의 출현으로 인공지능 연구는 최근 괄목할만한 성취를 거두고 있다. 이러한 이유로 인공지능과 빅데이터는 우리가 직면하고 있는 4차산업혁명의 핵심요소로 생각되고 있다. 그러나, 인공지능과 빅데이터의 최근 성취에도 불구하고 복잡한 데이터의 구조를 이해하고 이를 활용하여 신뢰성 있고 설명이 가능한 인공지능 시스템을 구현하는 것은 여전히 갈길이 먼 도전적인 영역이다. 이러한 도전적인 문제를 해결하고 범용인공지능을 실현하기 위하여 인공지능과 빅데이터 분석을 위한 해석학, 기하, 위상수학, 대수학, 확률과 통계 등 다양한 수학이 요구된다. 이를 바탕으로 현재 인공지능에서의 수학적 원리 규명, 신뢰성 있고 설명 가능한 인공지능, 가용한 컴퓨팅자원을 활용한 효율적인 통계적 학습 및 최적화, 정보, 생명과학, 의료 및 사회과학과의 융합연구 등에 중점을 두고 연구를 수행하고 있다.
정수론
정수론은 수의 성질에 대한 연구에서 유래한 학문으로, 특히 대수적 정수론은 다항식 방정식의 풀이를 통한 수의 성질을 탐구하는 것에서 발전되었다. 좀더 구체적으로는, 다항식의 근으로 얻어지는 수체(number field)의 산술적 성질 및 불변량을 연구하기도 하며, 혹은 수체 위에 정의된 여러 대수다양체의 대수적, 산술적 구조 및 성질을 통하여“수의 성질”을 연구하기도 한다. 가장 대표적으로는 타원곡선, 모듈러 곡선(modular curves), 아벨 다양체 같은 대수 다양체가 주로 연구되며, 이 과정에서 갈루아 이론과 대수기하를 포함한 대수 분야의 여러 도구들이 사용된다. 또한 수체 위의 대상들에 접근하기 위한 도구로 유한체 및 p-진수체(p-adic fields) 위의 대상을 연구하기도 하며, 또한 수체와 구조적으로 유사한 함수체 위의 문제들을 다루기도 한다.
19세기에 리만이 제타 함수의 해석적 성질을 통해 소수의 분포에 대한 중요한 결과를 얻어 내었고, 이를 계기로 리만 제타 함수과 그 일반화인L함수의 연구 또한 정수론의 중요한 분야로 확립되었다. 최근에는 유리 타원곡선과 모듈러 형식(modular form)의L함수를 상관관계 결과인 유리수체 상에서의 타원곡선의 모듈성(modularity)을 통하여 페르마 마지막 정리가 증명되면서, 모듈러 형식(modular form)내지는 좀 더 일반적인 보형형식의 산술적 성질이 현재까지 매우 활발하게 연구되고 있다. 현대 정수론에서는 이처럼 여러 분야에서 등장하는 개체들을 통하여 수의 성질을 연구하고 있으며, 정수론 연구가 순수수학의 영역을 넘어 암호론, 코딩이론 등에 응용되기도 한다. 현대 정수론 연구에는 고전적으로 사용되어온 정수론의 도구뿐만 아니라 군이론, 가환대수 및 대수기하, 조합론, 표현론, 리이론, 해석학, 동역학, 위상수학, 쌍곡기하 등 인접분야의 도구들이 활발하게 사용된다. 본 학과 연구진은 주로 대수적, 기하학적 도구로 접근하는 문제들을 연구하고 있다.
확률
확률론은 게임의 승부 예측에 관한 관심에서 시작되었으며, 약 100년 전 측도론적 방법을 통한 확률변수의 엄밀한 이해를 바탕으로 하여 수학의 한 분야로 자리잡았다. 현대에는 수학의 여러 분야에서 확률론과 관련된 연구가 진행되고 있으며, 물리학, 생명과학, 경제학 등 수학 외 다른 분야에서도 무작위적인 특성이 포함된 자연현상이나 사회현상을 이해하는 데에 확률론이 널리 쓰이고 있다. 최근에는 인공지능 연구 등 대량의 자료를 다루어야 하는 분야에서도 확률론이 응용되고 있다. 확률론에서 다루는 주요 연구 대상은 확률변수, 확률분포, 확률과정 등이며, 이러한 무작위적인 특성을 가진 대상에서 나타나는 법칙을 연구하는 것이 확률론의 주요 목표이다. 확률론에서 사용되는 주요 연구 도구에는 마팅게일, 마르코프 체인 등이 있으며, 확률론의 가장 기본적이며 대표적인 연구결과는 큰 수의 법칙과 중심극한정리이다. 확률론에서 다루어지는 확률 모형은 여러 종류의 확률미분방정식을 포함하여 랜덤 그래프, 랜덤 행렬, 스핀 유리 모형 등으로 매우 다양하다. 또한, 확률론에서 얻어진 연구 결과는 큐잉 이론, 확률제어이론, 최적화이론 등에서 응용되며, 최근에는 강화학습 알고리즘 등 기계학습에서 사용되는 기술의 이론적 이해에도 사용된다. 확률론의 중요성은 계속하여 커지고 있으며, 그 응용 분야 또한 더욱 확장될 것으로 기대된다. 앞으로의 대표적인 확률 이론 및 응용 연구 주제로는 다양한 확률 모형에서 보편적으로 나타나는 분포에 관한 연구, 이른 바 보편성 연구와 수리과학적 이해에 기반한 신뢰성 높고 설명 가능한 인공지능 연구 등을 들 수 있다.
통계학
데이터 과학은 과학적 방법, 프로세스, 알고리즘 및 시스템을 활용하여 다양한 학문분야에서 생성되는 정형/비정형 데이터로부터 핵심 정보를 추출하고, 이를 통해 새로운 지식과 통찰력을 얻어 해당 분야의 지식을 확장하는 융합학문이다. 통계학은 이러한 데이터 과학의 핵심 구성 요소로서, 다양한 형태의 데이터를 수집, 분석, 그리고 해석하기 위해 확률론에 기반한 수리통계적 방법론을 개발하고 이를 응용하는 학문이다. 4차 산업혁명시대의 도래와 빅데이타의 출현으로 최근 데이터의 형태가 점점 복잡해지고, 데이터의 차원과 규모가 급속도로 증가하고 있다. 따라서 통계그룹의 연구는 초고차원, 대용량, 비정형 데이터를 분석하는 통계 방법론을 개발하고, 이를 구현하는 알고리즘을 개발하며, 빠르게 다변화하는 데이터 환경에 맞춰 새로운 통계 이론을 개척하는 것에 중점을 두고 있다. 방법론 연구의 세부 주제에는 함수추정, 비모수 추론, 통계적 기계학습, 통계 계산, 시계열 및 공간통계, 베이지안 추론, 다변량 통계, 표본 설계 등이 있다. 또한 새로운 통계적 방법론을 활용하여 기초과학, 생명 및 의과학, 공학, 사회과학, 경제학, 보건학, 환경과학 등의 타 분야에 지식을 확장하는 융합연구에도 중점을 두고 있다.
