지난 연습시간에 제가 틀리게 말한 내용이 있고, 또 그것이 잘 해결이 안 되어서 이렇게 글을 씁니다.
10번 문제를 생각합시다. 회전축을 z축이라고 하고 curve를 z축으로 대칭시켜서 만들어진 curve가 regular라고 합시다. 그러면 z축 근처에서 z = f(x) (f is differentiable) 꼴로 쓸 수 있는데 z = g(x,y) := f(sqrt(x^2+y^2)) 가 differentiable 이 되는 것이 surface of revolution 이 regular가 되는 조건이 됩니다. 그런데 g가 differentiable 이 되는 조건이 정확히 무엇인지 알기가 쉽지 않습니다.
f를 analytic function이라고 가정하면 g가 differentiable이 된다는 것을 보인 학생이 있었습니다. 하지만 그것은 좀 더 강한 조건으로 필요조건이 되지 않습니다. 얼핏 생각하기에는 f가 differentiable로 충분할 것 같습니다.
f는 대칭시켜서 만든 함수이기 때문에 even function 이 되고, 결국 문제는
f is even and differentiable => g is differentiable
이 성립하는가를 판별하는 것이 됩니다. 지난 시간에 이게 성립한다고 이야기했는데 제가 잘못 생각한 부분이 있었습니다. 한 변수로만 미분하는 것은 괜찮은데 x와 y가 섞이면 잘 안된다는 것을 미처 생각하지 못했습니다. 간단하게 증명되지는 않는 것 같습니다. 반례를 생각해보려고 해도 f가 analytic이면 성립하기 때문에, differentiable 이지만 analytic이 아닌 예를 들어야 합니다. Cauchy의 example은 반례가 되지 않습니다. 종합하면 f가 even이라는 가정하에서
f is analytic => g is differentiable <=> surface of revolution is regular => f is differentiable <=> extended curve is regular
가 되는데, surface of revolution 이 정확히 언제 regular가 되는지를 알고 싶습니다.
12번도 생각을 좀 해야되는 문제 같습니다. 지난 시간에 어떤 학생이 curve를 sphere위에 projection시켜서 만들어진 curve가 regular이면, 만들어진 surface가 regular가 된다는 주장을 하였습니다. 제가 보기에는 상당히 그럴듯 해 보입니다. 정리를 해서 게시판에 설명을 해 준다면 모두에게 도움이 될 것입니다.
문제 해결에 도움을 주는 분께는 추가점수를 드리겠습니다. 너무 집착하는 것은 별로 좋지 않겠지만 다들 한번쯤은 생각해 보는 것도 좋을 것 같습니다.
그 projection이 된 curve가 regular & locally homeomorphic to R일 경우에 regular surface가 된다고 주장했습니다.
이렇게 하면 일단 주어진 surface에서 self-intersection의 문제도 해결됩니다.(fig 2-22와 같은 경우 구면 위에서 self-intersection이 생겨서 그 점에서 R과 homeomorphic한 nbd를 잡을수 없게 됨)
corn의 겉면을 따라 감겨 올라가는 helix의 경우 단순히 self-intersection을 제거한다면 모든 점을 지워야 하지만, 구면에 올리고 보면 아무것도 지우지 않아도 됩니다.
그리고 topologist's sine curve와 같이 특수한 경우도 해결할 수 있습니다.
필요충분조건임을 수학적으로 증명하기 위해서는 엄밀한 논리 전개가 필요하지만,
일단 위 예들만 봐도 상당히 그럴듯해 보입니다. 증명을 하게 되면 올리겠습니다.