p.223 D8(b)
If eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are added,
then the resulting vector is not an eigenvector of A.

답은 True이구요.
제가 경황이 없어서 마지막에 설명을 좀 빠뜨렸네요.

x_1, x_2 를 각각 eigenvalue λ_1, λ_2에 해당하는 eigenvector라고 합시다.
우선 A(x_1) = λ_1 x_1, A(x_2) = λ_2 x_2 가 되구요.
그래서, A(x_1+x_2) = A(x_1) + A(x_2)  (by the linearity of A)
                                   = λ_1 x_1 + λ_2 x_2

만약 x_1+x_2를 A의 eigenvector라고 하면,
A(x_1+x_2) = β(x_1+x_2)를 만족하는 어떤 실수 β가 존재합니다.

따라서, β x_1+ β x_2 = β(x_1+x_2) = λ_1 x_1 + λ_2 x_2 가 되는데,
이 식을 한쪽으로 몰아서 정리하면,
(β-λ_1)x_1 + (β- λ_2)x_2 = 0 이 됩니다.
그런데 x_1과 x_2는 linearly independent하므로
(x_1 and x_2 are eigenvectors)
β-λ_1 = β-λ_2 = 0 이 되어서 λ_1 = λ_2 가 됩니다.
그런데 이 것은 λ_1과 λ_2가 distinct하다는 가정에 모순이므로
x_1+x_2가 A의 eigenvector라는 가정이 틀리게 됩니다.