[내용]

오늘은 7.2를 공부하였습니다. Q: R^n -> R 로서 대칭행렬 A에 대해 Q(x)=x^TAx로 주어지는 함수 Q를 이차형식(quadratic form)이라고 부르고 A를 이차형식 Q의 행렬이라고 합니다. 이차형식에서 A가 대각행렬이 아닌 대칭행렬일 때 cross-product term이 등장하는데 이것은 다음과 같은 적당한 변수변환(change of variables)를 통해 없앨 수 있습니다.

먼저 A가 대칭행렬이므로 A=PDP^T로 직교대각화하면 P의 열들은 직교하는(orthogonal) 정규(normal) 교유벡터로서 R^n의 정규직교기저(orthonormal basis)가 됩니다. 이 때 이 열들을 새로운 좌표축으로 생각하는 변수변환 x=Py을 해주면

x^TAx=y^TDy

가 되어 cross-product term이 없는 이차형식을 얻을 수 있습니다. 이때, P의 열들을 주축(principal axes)라고 부릅니다.

A가 2*2 가역인 대칭행렬인 경우 적당한 상수 c에 대해 x^TAx=c는 이차곡선(원,타원,쌍곡선, 만나는 두 직선, 점, 공집합 등)이 되는데 A가 대각행렬이면 이차곡선이 표준위치(standard position)에 있다고 하고 그렇지 않으면 주축을 잘 선택하여 표준위치로 바꿀 수 있습니다. 이 때의 주축은 A의 고유벡터방향이 됩니다.

마지막으로 영벡터를 제외했을 때, 이차형식(quadratic form) Q의 값의 부호가 +로 일정하면 Q를 양의 정부호(positive definite), -로 일정하면 음의 정부호(negative definite), +와 -값을 동시에 갖는 경우 부정부호(indefinite) 이차형식이라고 합니다. A가 이차형식 Q의 행렬인 경우 A의 고유값들의 부호로 부터 Q의 정부호 여부를 알 수 있다는 것이 정리 5의 내용입니다.


[중요한 것들]

● 이차형식과 이차형식의 행렬의 정의
● 변수변환으로 이차형식의 cross-product term 없애기
● 이차형식의 주축의 개념과 이차곡선에의 기하적 응용
● 이차형식의 종류와 고유값의 부호를 이용한 판별