문제는 f(x) = x ( if x is rational )
sinx ( if x is irrational )
f(x) 가 모든점에서 불연속임을 입실룬 - 델타 논법으로 증명하는 것입니다.
일단 함수가 모든점에서 극한이 존재하지 않음을 보이는 방법으로 증명했구요.
아래 첨부한 파일은 문제를 제가 나름대로 푼 방법인데요.
a is irrational 에서 막혀버렸네요...
a is rational 에선 제가 잘한건가요?
극한이 존재하지 않는 정의를 보면, (첨부파일에도 썼듯이)
" 모든 양의 델타, 어떠한 양의 입실룬, 어떠한 x0 에 대해서 lim {x->a} f(x) =L 이라고 할때
0<|x0-a|<델타 but |f(x0) _L|>입실룬 이다"
라고 알고 있는데요, 여기서 0<|x0-a|<델타 가 만족하려면, x0를 잡을때에 x0-a가 0에 가까운 값으로 잡게하려고 했습니다.
제가 잘못하고 있는건가요? 모든 델타보다 작으려면 0에 가까운 값으로 잡아야하는것 아닌가요?
a is rational 에선 x0 = a+nㅠ 로 잡아서 n을 0에 가깝게 보내면, ...
역시 n은 정수라서 그것이 불가능할까요 ...
이 문제를 어떤 스텝으로 가야할지 도저히 모르겠습니다..
f(x) = 1 rational
0 irrational 은 이거보단 쉬웠는데 말이죠 ㅠㅠ
제발 팁이나 방향좀 지적 부탁드립니다.
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x>0인 범위에서.
x-x^3/6<sinx<x-x^3/6+x^5/120임을 이용하는 문제입니다.
sinx<x인 점을 감안하여 생각을 해 주면
x-sinx=x^3/6-x^5/120이므로 우변이 항상 임의의 0보다 큰 epsilon보다 작지는 않음을 보여 주면 됩니다.
x=1을 대입 한 후 뭐 x=120*세제곱근 (epsilon)/19인가 대입해줘서
min(1, 120*세제곱근 (epsilon)/19)였나 이렇게 푸는 문제입니다.
아 이 방법은 제 방법이고,, 뭐 다른 방법이 무수히 많겟지요
x가 음수일 때는 이 함수가 기함수라는 점을 감안하여 생각해 주면 간단해 집니다.