이 문제 solution 관련해서 질문하시는 분이 많아서 글 올립니다.

첨부파일은 교재 2.3과 2.6에 있는 두가지 tangent plane에 대한 내용입니다. 참고하세요.



Q) 챕터 2.3의 연습문제 14번을 보면 tangent plane을 구할 때 홈페이지에 올라와 있는 솔루션을 보면 gradient of f(x,y,z)(x-x0,y-y0,z-z0)=0이라는 식을 써서 하던데,

이 식은 level surface일 때만 성립하는 식인걸로 알 고 있는데 13번의 (c)번 함수는 level surface가 아닌 R^3->R인 함수(f(x,y,z)=c(c는 상수)와 같은 형태가 아님)인데 이 식을 써서 tangent plane이 가능한지 알고 싶습니다.



A) solution이 잘못된 것 같습니다.

지금 f가 R^3 -> R로 가는 함수이므로 (1,0,1)에서 "graph of (x,y,z,f(x,y,z))에"
접하는 tangent plane(정확하는 tangent hyperplane)은 p.133 의 식을 확장시킨 형태를 사용해야 합니다.

즉, f(1,0,1) + f_x(1,0,1) (x-1) + f_y(1,0,1)(y-0) + f_z(1,0,1)(z-1) = w 이지요.
(f_x는 f의 x에 대한 partial derivative)

사실, R^3에서 R로 가는 함수 f 의 그래프는 4차원 공간에서 그려지기 때문에(직접 그릴 수는 없지만;;) tangent plane도 당연히 4차원에 있어야 겠죠.


만약 문제가 "(1,0,1)을 포함하는 f의 level surface의 graph에 대한 tangent plane"이라고 했다면, 주어진 solution이 맞습니다.

일반적으로 함수 f의 tangent plane이라고 하면 "graph of (x,y,z,f(x,y,z))에 접하는 plane" 을 의미하며, 관련 단원 내용으로 보아도 level surface에 대한 plane을 구한 solution은 잘못 된 것으로 보이네요.^^