어제 연습시간에 limit 정의 에 대해 얘기하다가 나왔던 질문입니다.


원래의 "lim f(x) = b as x -> a"의 정의는 다음과 같죠.

"임의의 ε > 0에 대해 δ > 0가 존재해서, 0 < ||x - a|| < δ 인 모든 x에 대해 ||f(x) - b|| < ε 가 성립한다."

여기서 '임의의 ε에 대해 δ가 존재한다'를 '임의의 δ에 대해 ε가 존재한다'로 바꾸면 안되는지가 질문이었습니다.



언뜻 생각하기에 어차피 ε이나 δ나 점점 0으로 작아지는 수이니까 어떤것을 우선으로 주어서 다른 하나를 생각해도 별로 다르지 않을 것 같은데요.
그렇지만 사실은 큰 차이가 있습니다.




예를 하나 생각해 보겠습니다. 생각하기 쉽게 1 variable real-valued function으로요.

f(x) =  0    if x < 1
          1   if x >= 1

이러한 함수의 경우 x=1일 때 좌극한과 우극한이 다르니까, limit값이 존재하지 않음을 쉽게 아실 수 있으실 겁니다. (위의 limit정의를 이용해서도 증명할 수 있습니다.)


바뀐 문장,
"임의의 δ > 0에 대해 ε > 0가 존재해서, 0 < |x - a| < δ 인 모든 x에 대해 |f(x) - b| < ε 가 성립한다."
으로 생각해 봅시다.

f(x)의 극한값을 1이라고 주장한다고 해볼께요.(b=1)

임의의 δ > 0 이 있어, 0 < |x - 1| < δ 을 만족하는 x들에 대해 함수값은 0 또는 1입니다. 이 때에 ε = 2로 잡아보죠.

  |f(x) - 1| = 0 or 1 < ε = 2

따라서 ε=2는 위 바뀐 문장의 조건을 만족합니다.



정리해보면, '임의의 δ > 0에 대해 ε = 2로 잡으면(존재) 0 < |x - 1| < δ 인 x들에 대해  |f(x) - 1| < ε 가 성립한다.'가 만족됩니다.

그렇지만 이미 아시다시피 f(x)는 1로 수렴하지 않습니다.
(사실 b를 어떤 값으로 잡아도 마찬가지로 위의 바뀐 문장을 만족합니다.)

즉, 정의에서 δ와 ε의 순서를 바꾸면 극한이 제대로 정의되지 않습니다.





이유는 여러가지로 설명할 수 있습니다만,
포함관계를 이용해서 설명하는 게 간단할 것 같네요.

f ({0 < ||x - a|| < δ}) - x들의 image- 는 f(x)는 b를 중심으로 하고 ε을 반지름으로 하는 원 안에 '포함'됩니다.

ε이 0으로 작아지면, '포함하는 set'이 작아지는 것이니까, 그 안에 포함되는 set의 크기도 작아질 수 밖에 없습니다. 따라서 δ 역시 0으로 작아지는 거지요.
그래서 limit의 intuition대로 '점점 가까워진다'는 것이 잘 설명되는 것입니다.

그렇지만 δ가 0으로 줄어든다고 해서, 포함하는 set의 반지름인 ε 이 작아질 필요는 없지요. 그냥 ε을 큰 수로 남겨두어도 image는 여전히 그 안에 포함될 테니까요.
(혹시 헷갈리시면, 지난시간에 했던 것처럼 그림으로 생각해 보세요.)





제 설명이 충분한가요?
혹시 보다 좋은 설명이 있으시다면, 알려주시면 좋겠네요.



추석 잘 보내세요~^^