책에서는 분모 분자가 0으로 수렴할 때의 증명밖에 안 나와 있어서요,
분모 분자가 무한대로 발산할 때는 어떻게 증명하는거죠?
제가 생각한 방법은 이런데요,
lim(f(x)/g(x))=lim(1/g(x))/(1/f(x))
이거는 분모분자가 0으로 수렴하니까 로피탈 정리를 적용하면
lim((f(x)/g(x))=lim(g'(x)/f'(x))*lim(f(x)/g(x))^2
이것을 정리하면 증명이 되긴합니다. 그런데 왠지
논리적으로 맞는지를 잘 모르겠어요-_-ㅠ
이거는 분모분자가 0으로 수렴하니까 로피탈 정리를 적용하면 <- 이 부분에서 조금 문제가 생기네요.
0/0 꼴의 로피탈 법칙에서는 f(c) = g(c) = 0 을 가정합니다. 이 말은 f와 g가 점 c에서 함수로써 잘 정의가 되고, 그 함수값이 0이라는 뜻입니다. 하지만, f가 점 c에서 양의 무한대로 발산하게 된다면, 1/f 이 점 c에서 0이라는 극한값을 가질 수는 있겠지만, 점 c에서 함수값이 정의되지는 않습니다.
이게 왜 문제가 되는지 그 이유를 명백히 알고 싶으면, 조건을 명확하게 쓰고( lim_{x-> a} f(x) = \infty , \infty = 무한대 ) 책에 있는 0/0 꼴의 로피탈 법칙 증명을 하나하나 따라가 보세요. 제가 위에 써 놓은 문제때문에 똑같이 전개하기 어려워집니다.
\infty / \infty 꼴의 로피탈 법칙의 증명은 그래서 약간 까다롭기때문에 보통 미적분학 책에는 나오지 않습니다. 궁금하시다면, 해석학(analysis, advanced calculus)책을 참조하시던지, 저한테 물어보세요.
이밖에 궁금한 점이 있으면 연습 끝나고 찾아오시기 바랍니다.