>수업시간에
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>| f(x)f''(x)/(f(x))^2 |<1 인거
>
>설명좀 해주세요

위 식은 newton's method 가 converge하기 위한 조건입니다. 주어진 f에 대해 저 조건을 만족하는 구간,A (interval of x)에서 starting value(x_0)를 잡아야지만, x_n이 R(root)로 converge하게 됩니다.  A 밖에서 x_0를 잡는다면 convergence를 보장할 수 없습니다.

the formula you get is the necessary condition for the convergence of newton's method. x_n converge to the root only if x_0 is chosen from the interval which satisfies "the condition".  at the out of the interval, convergence can not be confirmed.

왜 저렇게 생긴 조건이 붙어야하는지를 아려면 수치해석학 책에서 뉴턴근사법 부분을 찾아보시면 됩니다.
you can find the proof of this theorem at the numerical analysis book.

직관적으로 설명을 하자면 g(x)=x-f(x)/f'(x) 라고 하면
intuitively, let g(x)=x-f(x)/f'(x) then,

x_1=g(x_0)
x_2=g(x_1)
.
.
.
x_(n+1)=g(x_n)

consider,

{ g (  x_(n+1)  ) - g ( x_n ) } / { x_(n+1) -x_n } = { x_(n+2) -x_2 }/ { x_(n+1) -x_n }   이므로

|g'(x)|이 1보다 작다는 것은 x_n의 간격이 줄어든다는 것입니다. 즉 어딘가로 수렴하고 있다는 것이지요.
so, |g'(x)|<1 means the |x_(n+1)-x_n| is decreasing, x_n is converging to somewhere.

g'(x)=f(x)f''(x)/[f(x)]^2 이기 때문에 위와 같은 조건이 붙게 된 것입니다.
since g'(x)=f(x)f''(x)/[f(x)]^2, we need "the condition" for the convergence.


엄밀한 증명, 추가설명이 필요한 학생은 cjhaha@kaist.ac.kr(TA 최종호)로 연락주세요.

if want more explain, contact me, cjhaha@kaist.ac.kr(TA 최종호)