저도 문제가 어려워보여서 조금 헤매다가 힌트를 좀 얻었는데요. (1번 문제입니다)
let, AB=C . Then A= CB^(-1) . So, BA = BCB^(-1) .
Here, C=AB, therefore we can say C is similar to BA.
Hence AB is similar to BA. similar --> by Thm4, page 315, same eigenvalues.

Refer to page 334, exer 23.
then the statement is true.

한글이랑 영어랑 바꾸기 힘들어서 대충 써봤는데요. 맞는지는 모르겠습니다. 그래도 참고하세요 ^^

2번 문제는 p482의 19번을 참고하면 풀수 있을 것 같습니다.
singular value라는 것이 A의 eigenvalue들의 제곱근이 아니라 A^TA의 eigenvalue의 제곱근들이기때문에
문제의 조건에서 orthogonal diagonalize할 수 있으므로 이는 symmetric mx가 되어 A^TA=A^2이 됩니다.
결국 A=PDP^T의 제곱의 eigenvalue는 D의 diagonal entries를 제곱한 것들이므로 이것들의 singular value는 제곱근을 씌워주면 다시 D의 diagonal entries가 되고 이는 결국 A의 eigenvalue가 되겠지요.

P와 P^T는 이미 orthogonal matrix이고 문제에서 square mx이므로 시그마는 0matrix를 포함하지 않으므로, 그리고 문제의 조건에서 positive definite에서 eigenvalue들은 모두 양수이므로 p475에 나와있는 SVD의 정의에 의해 SVD가 되는 것 같습니다. 도움이 되었으면 좋겠습니다.

감사합니다.^ㅡ^