[내용]

오늘은 6.7의 430쪽부터 7.1까지 공부하였습니다. 먼저 일반적인 내적공간(inner product space)에서의 Gram-Schmidt Process와 Best Approximation을 보기문제들을 통해 확인해 보았습니다. 내적이 정의된 공간에서 특정한 벡터를 어떤 부분공간으로 정사영(orthogonal projection)한 벡터를 구하기 위해서는 부분공간의 수직기저(orthogonal basis)를 찾아 이로부터 계산하여야 한다는 것에 주의해 주세요. 일반적인 내적공간에서의 피타고라스 정리의 응용으로 Cauchy-Schwarz 정리와 삼각부등식도 증명하였습니다. 마지막으로 폐구간에서 정의된 연속함수들의  공간에 그 구간에서의 적분으로 내적을 정의할 수 있었고  보기문제를 통해 특정한 연속함수공간의 직교기저(orthogonal basis)를 계산해 보았습니다.

7.1에서는 A^T=A인 대칭행렬(symmetric matrix)의 대각화(diagonalizaion)를 살펴보았습니다. 대각행렬 D와 직교행렬(orthogonal matrix) P에 대해 A=PDP^T 이 성립하면 A가 직교대각화가능(orthogonally diagonalizable)이라고 하는데 직교대각화가능행렬은 대칭행렬이고 그 역도 성립함을 정리2를 통해 확인하였습니다. 정리1은 서로 다른 고유값에 대응하는 교유벡터는 서로 수직이라는 것입니다. 마지막으로 Spectral Thm을 살펴보았는데 A가 n*n 대칭행렬인 경우,

(1) A는 중복을 허락하여 n개의 실수인 고유값을 갖고,
(2) 각 고유값의 대수적중복도(algebraic multiplicity)와 기하적중복도(geometric multiplicity)가 서로 같고,
(3) 각 고유공간은 서로 서로 수직이며,
(4) A 는 직교대각화가능입니다.

따라서 A가 대칭행렬일때, A=PDP^T로 직교대각화하면, 즉, P=[u_1...u_n] 이면,  

A=r_1u_1u_1^T+r_2u_2u_2^T+...+r_nu_nu_n^T

와 같이 고유값 r_i들과 이에 대응하는 정규화된(normalized) 고유벡터 u_i들로 만든 rank=1 인 n*n 대칭행렬 u_iu_i^T들로 분해됩니다. 이것을 대칭행렬 A의 스펙트럼 분해(spectral decomposition)라 부르고 특별히 u_iu_i^T를 사영행렬(projection matrix)라고 하는데 (u_iu_i^T)x=proj_(u_i) x 이기 때문입니다.

[중요한 것들]

● 일반적인 내적공간에서 GS process로 (정규)직교기저 구하기
● 정규직교기저가 있는 공간으로의 정사영=best approximation
● 대각화에 관한 대각행렬만의 여러가지 특징
● 직교대각화가능=대각행렬
● 스펙트럼 정리와 스펙트럼 분해(spectral decomposition) 이해하기

수고하셨습니다.