[내용]

오늘은 6.3 Thm9 ~ 6.4를 공부하였습니다. R^n의 부분공간 W가 있을 때 R^n의 벡터 y를 W위로 정사영(orthogonal projection)한 벡터 proj_W y 를 W의 벡터들을 이용한 y로의 최적근사(best approximation)라고도 부르는데 이것은 y와 W의 임의의 벡터와의 거리를 구하더라도 y와 proj_W y 의 거리가 가장 짧기 때문입니다.

정리10에서는 W의 정규직교기저(orthonormal basis)가 주어진 경우 이 기저를 열로 갖는 행렬 U를 만들면 proj_W y =U(U^T)y가 됩니다. 순서를 바꾸어 (U^T)U를 계산하면 단위행렬이 됩니다. 특히 U가 정사각행렬인 경우 U^T=U^{-1}이 됩니다.

6.4 에서는 주어진 기저를 직교기저로 만드는 Gram-Schmidt Process를 학습하였습니다. {x_1,...,x_n}이 공간 W의 기저일 때 Gram-Schmidt Process를 통해 직교기저 {v_1,...v_n}를 만들 수 있는데 중요한 점은 W_k=span{x_1,...,x_k}=span{v_1,...,v_k}가 성립하고

v_{k+1}=x_{k+1} - proj_{W_k} x_{k+1}

로 직교기저 v_i 들을 만들어 낸다는 것입니다.

마지막으로 행렬 A의 열들이 일차독립인 경우 A=QR로 분해할 수 있는데 이때, Q는 A의 열들을 Gram-Schmidt Process를 통해 정규직교기저로 바꾸어 열로 쓴 행렬이고 R은 A의 각 행들에 대해 Q의 행들을 기저로 생각했을 때의 좌표를 구해 열로 쓴 것입니다. 특히 R은 윗삼각행렬로서 대각성분이 모두 양수가 되게 할 수 있고 ColA=ColQ입니다. R의 계산은 (Q^T)A 로 간단히 구할 수 있습니다.

[중요한 것들]

● 정사영=최적근사=최소거리=최소오차
● proj_W y =U(U^T)y, (U^T)U=I
● Gram-Schmidt Process
● QR Decomposition에서 Q와 R의 각 열들의 의미
● 6.1~6.3의 정리들을 일반적인 기저(또는 생성원)가 있는 경우에 대해 생각해 보기

수고하셨습니다.