[내용]

오늘은 2.8 의 basis의 정의에서 부터 2.9까지 하였습니다.

R^n 의 부분공간(subspace) H의 기저(basis)란 H 를 생성(span)하는 일차독립인 R^n 의 벡터들의 집합을 말합니다. 생성 & 일차독립입니다. 특히 Ei 들을 R^n 의 표준기저(standard basis)라고 합니다. 보기문제로 ColA 와 NulA 의 기저들을 구해보았습니다.

NulA의 기저는 Ax=O의 해를 free variable들로 나타냈을 때의 벡터들이고 ColA의 기저는 A의 pivot column들이었습니다. 특히 A~B 이면 ColA 와 ColB는 다르지만 A와 B의 열들의 일차독립성 여부는 같습니다.

2.9에서는 부분공간 H의 (순서)기저 B가 있을 때, H의 원소 x가 B의 원소의 일차결합으로 유일하게 써지며 이때의 계수(weight)들을 B에 대한 x의 좌표(coordinate)라고 부릅니다.  이 좌표를 성분으로 하는 벡터를 x의 좌표벡터(coordinate vector)라고 합니다. 기저의 개수가 n개인 부분공간과 R^n은 좌표벡터를 구하는 변환에 의해 동형(isomorphic) 이며 부분공간에 대한 기저의 개수는 구하는 방법에 상관없이 같습니다. 이것을 부분공간의 차원(dimension)이라고 부릅니다.

dim(NulA)는 A의 free variable들의 개수와 같고 rankA로 정의되는 dim(ColA)는 A의 pivot column들의 개수와 같습니다. 따라서 A가 m*n 행렬인 경우 [Rank Thm] rankA+dim(NulA)=n, 즉 (변수의 개수)=(자유변수의 개수)+(기본변수의 개수) 이 성립합니다.

[Basis Thm], 차원이 p인 부분공간에서 p개의 일차독립인 벡터들은 자동적으로 그 부분공간의 기저가 된다는 것(즉, 생성여부는 자동성립)과 [Invertible Matrix Thm]을 ColA와 NulA의 입장에서 정리하였습니다.


[중요한 것들]

● 기저의 정의(생성과 독립), R^n의 표준기저
● NulA와 ColA의 기저구하기
● A~B일 때, A의 열과 B의 열의 일차관계여부
● 기저와 좌표벡터
● 부분공간의 차원
● Rank정리과 Basis정리, ColA와 NulA의 입장에서 정리한 Invertible Matrix Thm

수고하셨습니다.