Compute \[ f(x)= \int_{0}^1 \frac{\log (1- 2t\cos x + t^2) }{t} dt.\]

The best solution was submitted by Younghun Lee (이영훈), 2011학번.

Here is his Solution of Problem 2012-3.

Alternative solutions were submitted by 조준영 (2012학번, +3, Solution), 김태호 (2011학번, +3), 서기원 (수리과학과 2009학번, +3), 박민재 (2011학번, +3, Solution), 이명재 (2012학번, +3), 서동휘 (수리과학과 2009학번, +2), 임정환 (수리과학과 2009학번, +2), 김현수 (?, +2), 정우석 (서강대 자연과학부 2011학번, +2), 조위지 (Stanford Univ. 물리학과 박사과정, +3, Solution).

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박민재best solution에서는 arctan(tan(x))=x라는 오류가 있고, 두 번째 alternative solution에선 ln(1-t)/t=sum t^(n-1)/n이 [0,1]에서 uniformly converge하지 않으므로 f(0)보다는 f(pi)값을 계산하는 게 더 안전하지 않을까 싶네요.

HunminParkbest solution에서 solution 부분 두번째 줄에서 오타가 있는 것 같습니다.(1을 t로 바꿔야 하는 듯 합니다.)

HunminPark그리고 solution들을 읽다가 생각난 건데 문제의 적분을 이용하여 역으로 zeta(2)=(π^2)/6임을 증명할 수도 있을 것 같네요.

조위지@박민재

적어도 t의 범위가 [0,1)에서는 converge하니까 문제가 되지는 않지 않을까요? t=1에서는사실 log(1-t)/t 자체가 diverge하기도 하구요.

그나저나 모든 solution을 볼 수 있으면 좋겠네요.

S. OumPost author여러 지적 고맙습니다. 박민재 학생 솔루션을 추가했습니다…

박민재@조위지

There are many counterexamples: “For an integrable function sequence f_n->f (on [a,b]), lim int f_n != int lim f_n. (Furthermore, RHS may not exist.)” The equality is only guaranteed by the uniform convergence of f_n. Of course, there might be no problem for this specific case, but what I’m saying is that there is no general result for this condition, thus it is a little dangerous without any mention of it 🙂

조위지@박민재

f(0)을 구할 때 하게 되는 적분에서, integrand인 log(1-t)/t가 t=1에서 divergent하니까, 결국 improper integral로 생각해야 할 것 같은데요. 다시 말하면 적분을 [0,a]의 구간에서 한 다음에(a<1) a가 1에 근접하는 극한을 고려하니까 uniform convergence에는 여전히 문제가 없지 않나요?

단, 위에서는 uniform convergence가 [0,1]의 구간에서 upper limit인 1에서만 깨진다고 생각하고 이야기한 것인데, 사실 1 외의 다른 점에서도 문제가 생기는 거라면 할 말이 없구요… 사실 수학 지식이 짧아서 이런 부분을 어떻게 따져 줘야 하는지 잘 모르겠군요;;;

경우에 따라서는 Lebesgue 적분으로 정의하면 improper integral을 생각할 필요가 없다는 것 같은데, 역시 제 수학 지식을 벗어나는 범위이므로 일단 패스.

HunminPark혹시 Poisson kernel을 사용하여 증명할 수도 있을까요??