Solution: 2009-16 Commutative ring

Let k>1 be a fixed integer. Let π be a fixed nonidentity permutation of {1,2,…,k}. Let I be an ideal of a ring R such that for any nonzero element a of R, aI≠0 and Ia≠0 hold.

Prove that if \(a_1 a_2\ldots a_k=a_{\pi(1)} a_{\pi(2)} \ldots a_{\pi(k)}\)  for any elements \(a_1, a_2,\ldots,a_k \in I\), then R is commutative.

The best solution was submitted by Yang, Hae Hun (양해훈), 2008학번. Congratulations!

Here is his Solution of Problem 2009-16.

An alternative solution was submitted by 정성구(수리과학과 2007학번, +3).

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3 thoughts on “Solution: 2009-16 Commutative ring

  1. 김치헌

    풀이에 오류가 있지 않나요? k=2에서 abxy=baxy가 항상 성립한다는건 (ab-ba)I^2=0을 의미하지 (ab-ba)I=0을 의미하진 않습니다. I=2Z인 경우를 생각해보면 I^2=4Z로 I와는 다르니까요;

  2. S. Oum Post author

    그 부분을 조금 걱정했었는데, (ab-ba)I^2=0이면 (ab-ba)I=0 아닌가요? 첫번째 lemma의 consequence로 나오는 것으로 이해했습니다.
    만약 (ab-ba)I≠0이면 (ab-ba)x≠0인 x가 있고, 그러면 (ab-ba)x I≠0이 되어서 (ab-ba)xy≠0이 되는 y가 있겠죠.

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