안녕하세요 미적 공부를 하다가 어떠한 방법으로 풀어야 하는지 잘 감이 잡히지 않는 문제가 있네요.
문제는 x_(n+1)=x_n-(tan(x_n)-1)/(secx)^2일 때
x_(n+1)의 수렴값을 구하는 문제인데요..
해설에서 풀이한 풀이는 이해가 가는데
제 방법으로는 약간 풀이가 길어지는 것 같아서요.
제 방법의 요체는 x_n-pi/4의 크기를 n항과 n+1번째 항에 대하여
비교하는 것입니다. 결론적으로 어떠한 특수한 형식이 나와서
(절대값)(x_(n+1)-pi/4)=<f((절대값)x_n-pi/4)의 형태로
나오면 증명이 끝나는 거잖아요
위의 방법으로 증명을 마무리 지어주시면 감사하겠습니다~
그리고 더불어서
sigma(n=1~infinite)8 arc(tann)/(1+n^2)의 수렴값과 그 구하는 과정을 설명해 주시면
감사하겠습니다..
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첫번째 질문에 대한 답변은 첨부한 파일을 확인하세요:)
그리고 교재의 풀이에 나와있는 답안은 충분한 답안이 아닙니다. 왜냐하면 교재에서도 밝히고 있듯이 Newton's method에 의해 만들어진 수열은 항상
수렴하는 것이 아니예요. 또한 교재에서는 Newton's method가 수렴하기위한 어떠한 충분조건도 제시하지 않고 않아요.
그래서 Newton's method에 의해 만들어진 수열이라 해서 수렴한다라고 결론내리는 것은 충분한 풀이가 아니예요.
두번째 문제에 대한 대답은 "저는 몰라요"입니다. 사실 학생이 제시하고 있는 급수의 수렴값을 찾는 건 미적분학에서 배운 내용만으로 계산이 불가능 할 것 같아요.
어쩌면 복소해석학에서 배우는 contour integral을 이용한 방법을 적용하면 수렴값을 구할 수 있을지도 모르지만, 시도를 해보지 않았으니(매우 귀찮은 일이고 풀이를 찾는다해도 미적분학과 전혀 관계없는 풀이일 것이기 때문에 시도를 안했어요^^;;) 그 또한 확실치 않네요.
아무튼 "제가 모르니까 학생도 몰라도 됩니다"라는 답변이 적당할 것 같네요 :)