제 조교님께 메일 보내려고했는데 메일주소를 잊어서..
여기에 이런질문해도 되는지 모르겠지만
갑자기 이해가 안되서 질문 올립니다.
#1.
Calculus 책에는 Darboux's theorem (p 81, theorem 2)
If a and b are two points in an interval on which f is differentiable, then f'(x) takes on every value between f'(a) and f'(b).
라고 나와있는데요.
제가 나름 이해한게
a, b가 f(x)가 미분가능한 어떤 구간에 있는 점이라고 할때, f'(x) 는 f'(a) 와 f'(b) 사이 모든 값을 취한다.
이구요. 제 해석이 맞다면,
f'(x) 는 f'(a) 와 f'(b) 사이 모든 값을 취한다. -> f'(x) 는 x가 a와 b 사이에 있을 때 f'(a) 와 f'(b) 사이 모든 값을 취한다.
처럼 되어야 하지 않나요? x가 a와b 다른 영역에서도 f'(a) 와 f'(b) 사이 값을 모두 취할수 있다면 정리가 만족하는건가요?
intermediate value Theorem 과 같다면 a와 b 사이에 있어야한다는 언급이 필요할것 같아서요 ㅠㅠ 알려주시면 감사하겠습니다.
#2. Intermediate Value Theorem 에서...
f(x)가 [a,b] 에서 연속이고, f(a) ≠ f(b) 일대 f(a) <f(c) <f(b) 인 c가 [a,b]에 존재한다.
인데 f(a) < f(c) <f(b) 가 f(a) <= f(c) <= f(b) 이어야 하지 않나요?
c가 a,b의 폐구간에 있으니깐, c=a 일때 보면, 바로 f(c) = f(a) 가되는데..
알려주셨으면 감사하겠습니다...
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이 게시판의 목적이 이런 질문을 쓰라고 만들어 놓은 거예요. 잘 활용하시는 거예요!
#1 잘 이해하고 있으시네요 :) Darboux 정리를 정확히 다시 기술하는 훈련을 해보세요.
#2 IVT을 잘못 이해하고 있어요. 차라리 위에서 쓴 것 처럼
f(x)가 f(a)와 f(b)사이의 모든 값을 취한다라 표현하는게 맞아요.
단순히 f(a)와 f(b)사이의 어떤 값을 함수값으로 갖는 점 c가 존재한다는 게 아니예요.
"f(a)와 f(b) 사이의 아무 값이 주어지건 간에 그 값을 함수값으로 갖는 어떠한 c가 있다" 정도로 생각하면 되요. 그리고 f(a)< y_0 < f(b) 이런 식을 만족하는 y_0를 생각하면 a< c < b이며 f(c) = y_0인 점이 존재한다 라고 써도 되요. 하지만 f(a) =< y_0 =<f(b) 이런식을 만족하는 y_0를 생각하면a=< c =< b이며 f(c) = y_0인 점이 존재한다 라고 써야 맞는 표현이겠죠.