음. 0 < g(x,y) < f(x,y)일 때, doubleintegral(g(x,y))가 존재하지 않으면 doubleintegral(f(x,y))도 존재하지 않는다는 문제이지요?

우선 g(x,y) < f(x,y)이므로 doubleintegral(g(x,y)) < doubleintegral(f(x,y))가 되는 것은 아마 간단히 이해되실 겁니다.

integral(g(x,y))를 생각해 보죠.

improper integral의 경우 원래의 domain D에 포함되는 bounded domain을 점점 크게 키워서 D로 보내서 limit를 이용하여 계산하게 됩니다.

이때, bounded domain안에서는 g(x,y)의 maximum이 존재하므로 항상 integrable하죠.

이제 이 sequence를 생각해 봅시다.

g(x,y)가 양수이기 때문에 domain을 점점 키우게 되면 integral of g(x,y) on bounded domain는 점점 증가하게 됩니다.

항상 증가하는 sequence에 대해 limit가 존재하지 않는 다는 건 이 limit가 +infinity로 발산하게 됨을 의미합니다.

결국 doubleintegral(g(x,y)) = + infinity가 되기 때문에 non-integrable하게 되는 겁니다.

그러면 integral(f(x,y))는 integral(g(x,y))보다도 크기 때문에 당연히 +infinity 값을 갖게 되어 발산하게 되겠죠?

따라서 f역시 non-integrable입니다.