1) 적분을 계산할 때 항상 outward pointing normal 로 계산해 주어야 하나요?
2) normal vector의 부호가 (+)면 outward로 보는건가요?
3) p.497 exercise1번에서
T_theta x T_y = (-sqrt(2)cos(theta), 0, -sqrt(2)sin(theta)) 가 나오는데요, 답지에는 부호가 반대로 나와있는것 같더라구요.
이때는 그러면 T_theta x T_y 가 opposite orientation 인건가요? 그리고 답이 항상 양수로 나와야 하나요???
4) exercise8번의 (b)에서, 원래 z의 식이 2R^2 - 2R^2 sin(theta) 인데
왜 z의 범위가 4R^2 - (2r^2 + 2r^2 sin(theta)) <= z <= 4R^2 인가요?
그리고 산과 맞닿은 부분의 flux를 구할때, z = 4R^2 - (r^2 + 2Rr sin(theta) + R^2) 인가요?
감사합니다~~
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제 생각을 말씀드리자면
1) curve의 orientation이 두 개가 있듯이 suface의 orientation도 normal vector 방향 두개 중에 어떤 것을 선택하느냐에 따라 달라집니다.
우리 책에서는 normal vector 방향중에 positive side(outside)의 밖으로 나가는 것을 orientation으로 잡았습니다.(p.485)
(그리고 주석에서 positive side와 negative side의 구분은 여기서는 굉장히 naive하게 설명한다. 라고 되있습니다.)
2) outward normal은 벡터의 부호와 상관 없습니다.
예를 들어 구에서 (-x,-y,-z)가 inward normal이지만 x>0,y>0,z>0에서는 음수, x<0,y<0,z<0에서는 양수입니다.
3) 답은 음수로 나와도 됩니다. p498 8번을 보시면 답이 음수입니다.
그리고 답지에서 T_theta X T_y 의 부호를 반대로 구한 것 같네요. 그리고 말씀하신대로 (-sqrt(2)cos(theta), 0, -sqrt(2)sin(theta))가 된다면
(-x,0,-z)이기 때문에 기둥 안쪽으로 향하는 vector이므로 opposite orientation이 됩니다. 그래서 답에서도 -를 해준거죠.
(Vector field적분에서는 opposite orientation이면 -를 해주어야합니다.)
4) 이 질문은 솔직히 무슨 말씀하시는 건지 잘 모르겠습니다.
원래 z의 식이 2R^2-2R^2sin(theta)이라는 게 무슨뜻인지..
그리고 산과 맞닿는 부분의 flux를 구할 때 z = 4R^2 - (r^2 + 2Rr sin(theta) + R^2)이렇게 되는 것 맞습니다..