Section 2.5의 24번 연습문제에 대해서 질문이 많아서, 게시판에 약간의 설명을 올립니다. 참고하시길 바랍니다.^^

저희반에서는 몇 번인가 얘기를 했었는데,

이 문제의 핵심은 '편미분을 할 때, 함수가 아닌 변수 형태로 기호를 쓸 경우에 생길 수 있는 혼동'이라고 정리할 수 있겠네요.

문제에서 보면 w = f(x,y,z)라 하고, z = g(x,y)라고 했을 때, (dw/dx)를 chain rule을 이용하여 정리했습니다. (편미분 기호를 편의상 d를 이용할께요.)

(dw/dx) = (dw/dx)(dx/dx) + (dw/dy)(dy/dx) + (dw/dz)(dz/dx) = (dw/dx) + (dw/dz)(dz/dx)

라고 해놓고, 왼쪽의 (dw/dx)와 오른쪽의 (dw/dx)를 지워서 (dw/dz)(dz/dx) = 0이라는 결론을 내립니다.

뭔가 이상하지요? 혼동하기 쉬운데 여기서의 실수는 chain rule 부분에서 생긴 게 아닙니다. 양 변의 (dw/dx)를 같은 것으로 봤다는 부분이 잘못된 것입니다.

왼쪽변을 먼저 살펴보면, 이 경우의 (dw/dx)는 전체 합성함수 w=f(x,y,g(x,y))를 x로 편미분 한 것이고,

오른쪽 변의 (dw/dx)는 합성하기 전의 함수 f(x,y,z)를 x로 편미분 한 것입니다. 서로 다른 함수를 미분한 것이므로 양 변에서 지워버릴 수 없습니다!

양 변의 (dw/dx)의 x가 하나는 R^2에서의 x값(합성함수는 R^2에서 정의된 함수), 하나는 R^3에서의 x값(f는 R^3의 함수)라고도 말할 수 있겠지요.

함수를 구분하지 않고, 결과값을 나타내는 w를 이용하여 편미분 기호를 사용했기 때문에 이런 실수를 하게 됩니다.

가능하면, 함수를 이용하여 편미분을 나타내거나 (ex. h(x,y) := f(x,y,g(x,y))  =>  (dh/dx)(x,y) = (df/dx)(x,y,g(x,y)) * (dx/dx) + ... )

또는 애초에 함수에 들어가는 변수를 구분해서 정의하는 것이 (ex. g : (x,y) -> (x,y,g(x,y)),  f : (s,t,r) -> w   =>  (dw/dx) = (dw/ds)(ds/dx) + .. and s = x, t = y, r = g(x,y))

실수를 줄일 수 있을 것입니다.

모두들 공부 열심히 하시고, 내일 연습때 뵐께요~ ^^

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I would like to talk about Section 2.5 Exercise 24 because some of you are little confused on it.
The point of this problem is "confusing from using the notation for partial derivatives with variable instead function symbols".

In this problem, we define w = f(x,y,z) and z = g(x,y) and then find (dw/dx) from the chain rule. (I use 'd' instead '∂' for convinience.)

(dw/dx) = (dw/dx)(dx/dx) + (dw/dy)(dy/dx) + (dw/dz)(dz/dx) = (dw/dx) + (dw/dz)(dz/dx)

Then, it says that we can delete (dw/dx) on both sides, so that conclude (dw/dz)(dz/dx) = 0.
It's really odd. Actually, what is wrong in this argument is considering (dw/dx) on LHS as equivalent to (dw/dx) on RHS.

(dw/dx) on LHS is the partial derivative of composition f(x,y,g(x,y)) with respect to x.
On the other hand, (dw/dx) on RHS is the p.d. of non-composition function f(x,y,z) with respect to x.
We can say that the left one is differentiated by x-component of a R^2-vector (f(x,y,g(x,y)) is defined on R^2),
while the right one is by x-component of a R^3-vector (f(x,y,z) is defined on R^3).

These two partial derivatives (dw/dx) are different, even though they are represented in same form!!

I hope you get the point.^^
Do your best and good luck on midterm!