제가 착각을 하고 이상한 풀이를 하다가 잘못된걸 확인하고,
시간이 없어서 생각할 시간도 없이 그냥 끝을 냈는데, 돌아오면서
생각하니까 제가 뭘 착각했는지 알겠더라고요.
statement는 맞는 거예요.
우선 임의의 nxn 행렬 A, B에 대해 tr(AB) = tr(BA)라는 것을 이용해야 합니다.
증명을 적겠습니다.
A~B라 하면 A = FBE 을 만족하는 E가 존재합니다. 여기서, F는 E의 역행렬이고요.
그러면 tr(A) = tr(FBE) = tr(F(BE))입니다. 여기에서 위에 서술한 성질을 사용합니다.
그러면 tr(A) = tr((BE)F)= tr(B(EF)) = tr(BI)=tr(B)입니다.
여기서 I는 물론, nxn 단위행렬(또는 항등행렬)입니다.