KAIX LECTURE SERIES

강연 제목 : 평균곡률 흐름

강사 : 최경수 박사 (MIT)

장소 : E6-1,  1401 호

시간 : 2019년 6월 24일 -28일 오후 3-5시

강연 내용 :

1. 평균 곡률 흐름의 소개 : 역사와 의의 소개, 특이점에 관한 주요 연구의 흐름 논의.기하학적 측도 이론/미분기하/조화 해석/함수 해석/편미분방정식/최소-최대 이론/동역학계 등이 어떻게 활용되는지 간략하게 소개.

2. 평균 곡률 흐름의 편미분방정식 : 평균 곡률 흐름이 편미분방정식 유도. 평균 곡률 흐름의 닫힌 자기동형해의 미분방정식 소개

3. 볼록하고 닫힌 평균 곡률 흐름의 특이점 : Huisken density 소개, 제 1형 특이점을 분석. Stampacchia(de Giorgi) iteration과 제 2형 특이점의 분석  소개.

4. 기울기 흐름으로서의 평균 곡률 흐름 : 평균 곡률 흐름이 Huisken density의 기울기 흐름임을 설명. 최소 곡면의 고립된 특이점과 기울기 흐름의 관계를 소개, 관련 특이점 연구들에 대해 논의. Huisken density를 이용한 엔트로피를 정의하고, 닫힌 곡면의 최소 엔트로피에 대해 논의.

5. 평균 곡률 흐름의 고대 해 : 고대 해, 접촉 해, 극한 해 등을 정의하고, 특이점 연구에의 응용을 소개. 닫힌 리찌 흐름과 평균 곡률 흐름의 붕괴를 정의하고, 붕괴하는 않는 해의 특이점에 대해 논의. 비붕괴성이나 작은 엔트로피가 극한 해의 점근 해를 결정함을 보이고, 기울기 흐름으로서 점근 해가 고정 됨을 논의. 결정된 점근 해 위에서 간단한 조화 해석학과 동역학계를 이용하여 극한 해를 분석하여 분류.

References

0. Xi-Ping Zhu, Lecture Notes on Mean Curvature Flows, AMS/IP

1. T. Colding and W. Minicozzi. Generic mean curvature flow I; generic singularities. Ann. of Math. (2), 175(2):755{833, 2012.

2. T. Colding and W. Minicozzi. Uniqueness of blowups and Lojasiewicz inequalities.

Ann. of Math. (2), 182(1):221{285, 2015.

3. J. Bernstein and L. Wang. A topological property of asymptotically conical

self-shrinkers of small entropy. Duke Math. J 166(3):403{435, 2017.

4. B. White. The size of the singular set in mean curvature flow of mean convex sets. J. Amer. Math. Soc. 13(3):665{695, 2000.

5. B. White. A local regularity theorem for mean curvature flow. Ann. of Math. (2), 161(3):1487-1519, 2005

6. X. Wang. Convex solutions to the mean curvature flow. Ann. of Math. (2), 173(3):1185{1239, 2011

7. S. Angenent, P. Daskalopoulos, and N. Sesum. Unique asymptotics of ancient convex mean curvature flow solutions. arXiv:1503.01178, 2015

8. S. Brendle and K. Choi. Uniqueness of convex ancient solutions to mean curvature flow in R3. arXiv:1711.00823v2, 2017

9. K. Choi, R. Haslhofer, and O. Hershkovits, Ancient low entropy flows, mean convex neighborhoods, and uniqueness, arXiv:1810.08467, 2018.

10. O. Chodosh and F. Schulze, Uniqueness of asymptotically conical tangent flows, arXiv:1901.06369, 2019.

11. J. Bernstein and L. Wang, A sharp lower bound for the entropy of closed hypersurfaces up to dimension 6, Invent. Math. 206

12. S. Brendle, Embedded self-similar shrinkers of genus 0, Ann. of Math. (2) 183 (2016), no. 2, 715–728.

13. L. Wang, Uniqueness of self-similar shrinkers with asymptotically conical ends, J. Amer. Math. Soc. 27 (2014), 613-638.

14. L. Wang, Asymptotic structure of self-shrinkers, https://arxiv.org/abs/1610.04904 (2016).